Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4359 / 263
↖ ↑ ↗
← N 84.526710°
W 84.221191°		 ← 233.04 m → N 84.526710°
W 84.199218°		 →
↑
233.11 m
↓
↑
233.11 m
↓
N 84.524614°
W 84.221191°		 ← 233.13 m →
54 336 m²		 N 84.524614°
W 84.199218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266082763671875 y=0.016082763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266082763671875 × 214)
    floor (0.266082763671875 × 16384)
    floor (4359.5)     		tx = 4359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.016082763671875 × 214)
    floor (0.016082763671875 × 16384)
    floor (263.5)     		ty = 263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4359 / 263 ti = "14/4359/263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4359/263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4359 ÷ 214
    4359 ÷ 16384     		x = 0.26605224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 263 ÷ 214
    263 ÷ 16384     		y = 0.01605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26605224609375 × 2 - 1) × π
    -0.4678955078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46993709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.01605224609375 × 2 - 1) × π
    0.9678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 3.0407334166994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46993709} λ = -1.46993709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.0407334166994))-π/2
    2×atan(20.920581113427)-π/2
    2×1.52303286222455-π/2
    3.0460657244491-1.57079632675     		φ = 1.47526940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46993709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.221191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47526940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.526710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4359 KachelY 263 -1.46993709 1.47526940 -84.221191 84.526710
    Oben rechts KachelX + 1 4360 KachelY 263 -1.46955359 1.47526940 -84.199218 84.526710
    Unten links KachelX 4359 KachelY + 1 264 -1.46993709 1.47523281 -84.221191 84.524614
    Unten rechts KachelX + 1 4360 KachelY + 1 264 -1.46955359 1.47523281 -84.199218 84.524614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47526940-1.47523281) × R
    3.6589999999892e-05 × 6371000     		dl = 233.114889999312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47526940-1.47523281) × R
    3.6589999999892e-05 × 6371000     		dr = 233.114889999312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46993709--1.46955359) × cos(1.47526940) × R
    0.00038349999999987 × 0.0953817062671181 × 6371000     		do = 233.044072215686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46993709--1.46955359) × cos(1.47523281) × R
    0.00038349999999987 × 0.0954181293810993 × 6371000     		du = 233.133064026979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47526940)-sin(1.47523281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0953817062671181-0.0954181293810993)×R²
    abs(-1.46955359--1.46993709)×3.64231139811239e-05×R²
    0.00038349999999987×3.64231139811239e-05×6371000²
    0.00038349999999987×3.64231139811239e-05×40589641000000     		ar = 54336.4159234868m²