Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4354 / 2823
↖ ↑ ↗
← N 75.458589°
W 84.331055°		 ← 613.46 m → N 75.458589°
W 84.309082°		 →
↑
613.53 m
↓
↑
613.53 m
↓
N 75.453072°
W 84.331055°		 ← 613.69 m →
376 443 m²		 N 75.453072°
W 84.309082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265777587890625 y=0.172332763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265777587890625 × 214)
    floor (0.265777587890625 × 16384)
    floor (4354.5)     		tx = 4354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172332763671875 × 214)
    floor (0.172332763671875 × 16384)
    floor (2823.5)     		ty = 2823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4354 / 2823 ti = "14/4354/2823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4354/2823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4354 ÷ 214
    4354 ÷ 16384     		x = 0.2657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2823 ÷ 214
    2823 ÷ 16384     		y = 0.17230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.468505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.47185457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17230224609375 × 2 - 1) × π
    0.6553955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05898571248065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47185457} λ = -1.47185457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05898571248065))-π/2
    2×atan(7.83801577558365)-π/2
    2×1.44389857897674-π/2
    2.88779715795349-1.57079632675     		φ = 1.31700083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47185457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31700083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.458589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4354 KachelY 2823 -1.47185457 1.31700083 -84.331055 75.458589
    Oben rechts KachelX + 1 4355 KachelY 2823 -1.47147107 1.31700083 -84.309082 75.458589
    Unten links KachelX 4354 KachelY + 1 2824 -1.47185457 1.31690453 -84.331055 75.453072
    Unten rechts KachelX + 1 4355 KachelY + 1 2824 -1.47147107 1.31690453 -84.309082 75.453072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31700083-1.31690453) × R
    9.63000000000491e-05 × 6371000     		dl = 613.527300000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31700083-1.31690453) × R
    9.63000000000491e-05 × 6371000     		dr = 613.527300000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47185457--1.47147107) × cos(1.31700083) × R
    0.000383500000000092 × 0.251079672392771 × 6371000     		do = 613.457565344449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47185457--1.47147107) × cos(1.31690453) × R
    0.000383500000000092 × 0.251172886395047 × 6371000     		du = 613.685313112108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31700083)-sin(1.31690453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251079672392771-0.251172886395047)×R²
    abs(-1.47147107--1.47185457)×9.32140022756323e-05×R²
    0.000383500000000092×9.32140022756323e-05×6371000²
    0.000383500000000092×9.32140022756323e-05×40589641000000     		ar = 376442.828759181m²