Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 43527 / 93675
↖ ↑ ↗
← S 60.902396°
W 60.449524°		 ← 148.50 m → S 60.902396°
W 60.446778°		 →
↑
148.51 m
↓
↑
148.51 m
↓
S 60.903731°
W 60.449524°		 ← 148.49 m →
22 053 m²		 S 60.903731°
W 60.446778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.332088470458984 y=0.714687347412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.332088470458984 × 217)
    floor (0.332088470458984 × 131072)
    floor (43527.5)     		tx = 43527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714687347412109 × 217)
    floor (0.714687347412109 × 131072)
    floor (93675.5)     		ty = 93675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 43527 / 93675 ti = "17/43527/93675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/43527/93675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43527 ÷ 217
    43527 ÷ 131072     		x = 0.332084655761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93675 ÷ 217
    93675 ÷ 131072     		y = 0.714683532714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.332084655761719 × 2 - 1) × π
    -0.335830688476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.05504322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.714683532714844 × 2 - 1) × π
    -0.429367065429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.34889641840876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05504322} λ = -1.05504322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34889641840876))-π/2
    2×atan(0.259526511346699)-π/2
    2×0.253924499891363-π/2
    0.507848999782726-1.57079632675     		φ = -1.06294733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05504322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.449524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06294733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.902396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43527 KachelY 93675 -1.05504322 -1.06294733 -60.449524 -60.902396
    Oben rechts KachelX + 1 43528 KachelY 93675 -1.05499529 -1.06294733 -60.446778 -60.902396
    Unten links KachelX 43527 KachelY + 1 93676 -1.05504322 -1.06297064 -60.449524 -60.903731
    Unten rechts KachelX + 1 43528 KachelY + 1 93676 -1.05499529 -1.06297064 -60.446778 -60.903731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06294733--1.06297064) × R
    2.33099999999986e-05 × 6371000     		dl = 148.508009999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06294733--1.06297064) × R
    2.33099999999986e-05 × 6371000     		dr = 148.508009999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05504322--1.05499529) × cos(-1.06294733) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.486298842744942 × 6371000     		do = 148.497201807337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05504322--1.05499529) × cos(-1.06297064) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.486278474508286 × 6371000     		du = 148.490982121244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06294733)-sin(-1.06297064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.486298842744942-0.486278474508286)×R²
    abs(-1.05499529--1.05504322)×2.03682366569091e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.03682366569091e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.03682366569091e-05×40589641000000     		ar = 22052.5620953174m²