Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 43522 / 93706
↖ ↑ ↗
← S 60.943774°
W 60.463257°		 ← 148.34 m → S 60.943774°
W 60.460510°		 →
↑
148.32 m
↓
↑
148.32 m
↓
S 60.945108°
W 60.463257°		 ← 148.33 m →
22 000 m²		 S 60.945108°
W 60.460510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.332050323486328 y=0.714923858642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.332050323486328 × 217)
    floor (0.332050323486328 × 131072)
    floor (43522.5)     		tx = 43522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714923858642578 × 217)
    floor (0.714923858642578 × 131072)
    floor (93706.5)     		ty = 93706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 43522 / 93706 ti = "17/43522/93706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/43522/93706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43522 ÷ 217
    43522 ÷ 131072     		x = 0.332046508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93706 ÷ 217
    93706 ÷ 131072     		y = 0.714920043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.332046508789062 × 2 - 1) × π
    -0.335906982421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.05528291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.714920043945312 × 2 - 1) × π
    -0.429840087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.35038246229698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05528291} λ = -1.05528291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35038246229698))-π/2
    2×atan(0.259141129978414)-π/2
    2×0.253563403700659-π/2
    0.507126807401317-1.57079632675     		φ = -1.06366952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05528291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.463257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06366952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.943774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43522 KachelY 93706 -1.05528291 -1.06366952 -60.463257 -60.943774
    Oben rechts KachelX + 1 43523 KachelY 93706 -1.05523497 -1.06366952 -60.460510 -60.943774
    Unten links KachelX 43522 KachelY + 1 93707 -1.05528291 -1.06369280 -60.463257 -60.945108
    Unten rechts KachelX + 1 43523 KachelY + 1 93707 -1.05523497 -1.06369280 -60.460510 -60.945108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06366952--1.06369280) × R
    2.32800000001809e-05 × 6371000     		dl = 148.316880001153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06366952--1.06369280) × R
    2.32800000001809e-05 × 6371000     		dr = 148.316880001153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05528291--1.05523497) × cos(-1.06366952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.485667671735252 × 6371000     		do = 148.335408033719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05528291--1.05523497) × cos(-1.06369280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.485647321542248 × 6371000     		du = 148.329192560962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06366952)-sin(-1.06369280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485667671735252-0.485647321542248)×R²
    abs(-1.05523497--1.05528291)×2.03501930037264e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03501930037264e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03501930037264e-05×40589641000000     		ar = 22000.1839844632m²