Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4352 / 1280
↖ ↑ ↗
← N 81.923187°
W 84.375000°		 ← 343.28 m → N 81.923187°
W 84.353027°		 →
↑
343.40 m
↓
↑
343.40 m
↓
N 81.920098°
W 84.375000°		 ← 343.41 m →
117 904 m²		 N 81.920098°
W 84.353027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265655517578125 y=0.078155517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265655517578125 × 214)
    floor (0.265655517578125 × 16384)
    floor (4352.5)     		tx = 4352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.078155517578125 × 214)
    floor (0.078155517578125 × 16384)
    floor (1280.5)     		ty = 1280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4352 / 1280 ti = "14/4352/1280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4352/1280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4352 ÷ 214
    4352 ÷ 16384     		x = 0.265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1280 ÷ 214
    1280 ÷ 16384     		y = 0.078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265625 × 2 - 1) × π
    -0.46875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47262156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.078125 × 2 - 1) × π
    0.84375 × 3.1415926535     		Φ = 2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47262156} λ = -1.47262156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.65071880139062))-π/2
    2×atan(14.1642162454354)-π/2
    2×1.50031283094907-π/2
    3.00062566189813-1.57079632675     		φ = 1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47262156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4352 KachelY 1280 -1.47262156 1.42982934 -84.375000 81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 4353 KachelY 1280 -1.47223806 1.42982934 -84.353027 81.923187
    Unten links KachelX 4352 KachelY + 1 1281 -1.47262156 1.42977544 -84.375000 81.920098
    Unten rechts KachelX + 1 4353 KachelY + 1 1281 -1.47223806 1.42977544 -84.353027 81.920098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42982934-1.42977544) × R
    5.38999999999401e-05 × 6371000     		dl = 343.396899999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42982934-1.42977544) × R
    5.38999999999401e-05 × 6371000     		dr = 343.396899999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47262156--1.47223806) × cos(1.42982934) × R
    0.000383500000000092 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 343.282034249116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47262156--1.47223806) × cos(1.42977544) × R
    0.000383500000000092 × 0.140553940186673 × 6371000     		du = 343.412420148466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42982934)-sin(1.42977544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.140553940186673)×R²
    abs(-1.47223806--1.47262156)×5.33651400566326e-05×R²
    0.000383500000000092×5.33651400566326e-05×6371000²
    0.000383500000000092×5.33651400566326e-05×40589641000000     		ar = 117904.373472926m²