Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 43512 / 93656
↖ ↑ ↗
← S 60.877008°
W 60.490723°		 ← 148.65 m → S 60.877008°
W 60.487976°		 →
↑
148.64 m
↓
↑
148.64 m
↓
S 60.878345°
W 60.490723°		 ← 148.64 m →
22 094 m²		 S 60.878345°
W 60.487976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331974029541016 y=0.714542388916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331974029541016 × 217)
    floor (0.331974029541016 × 131072)
    floor (43512.5)     		tx = 43512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714542388916016 × 217)
    floor (0.714542388916016 × 131072)
    floor (93656.5)     		ty = 93656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 43512 / 93656 ti = "17/43512/93656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/43512/93656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43512 ÷ 217
    43512 ÷ 131072     		x = 0.33197021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93656 ÷ 217
    93656 ÷ 131072     		y = 0.71453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33197021484375 × 2 - 1) × π
    -0.3360595703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.05576228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.4290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.34798561731598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05576228} λ = -1.05576228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34798561731598))-π/2
    2×atan(0.259762996055756)-π/2
    2×0.254146048792289-π/2
    0.508292097584578-1.57079632675     		φ = -1.06250423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05576228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.490723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06250423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.877008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43512 KachelY 93656 -1.05576228 -1.06250423 -60.490723 -60.877008
    Oben rechts KachelX + 1 43513 KachelY 93656 -1.05571434 -1.06250423 -60.487976 -60.877008
    Unten links KachelX 43512 KachelY + 1 93657 -1.05576228 -1.06252756 -60.490723 -60.878345
    Unten rechts KachelX + 1 43513 KachelY + 1 93657 -1.05571434 -1.06252756 -60.487976 -60.878345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06250423--1.06252756) × R
    2.33299999998771e-05 × 6371000     		dl = 148.635429999217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06250423--1.06252756) × R
    2.33299999998771e-05 × 6371000     		dr = 148.635429999217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05576228--1.05571434) × cos(-1.06250423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.486685972475633 × 6371000     		do = 148.646423290892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05576228--1.05571434) × cos(-1.06252756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.48666559179192 × 6371000     		du = 148.640198505488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06250423)-sin(-1.06252756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.486685972475633-0.48666559179192)×R²
    abs(-1.05571434--1.05576228)×2.03806837135723e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03806837135723e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03806837135723e-05×40589641000000     		ar = 22093.66243305m²