Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 435 / 223
↖ ↑ ↗
← N 70.728980°
W 27.070312°		 ← 12.902 km → N 70.728980°
W 26.718750°		 →
↑
12.939 km
↓
↑
12.939 km
↓
N 70.612614°
W 27.070312°		 ← 12.977 km →
167.424 km²		 N 70.612614°
W 26.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42529296875 y=0.21826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42529296875 × 210)
    floor (0.42529296875 × 1024)
    floor (435.5)     		tx = 435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21826171875 × 210)
    floor (0.21826171875 × 1024)
    floor (223.5)     		ty = 223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 435 / 223 ti = "10/435/223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/435/223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 435 ÷ 210
    435 ÷ 1024     		x = 0.4248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 223 ÷ 210
    223 ÷ 1024     		y = 0.2177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4248046875 × 2 - 1) × π
    -0.150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47246608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2177734375 × 2 - 1) × π
    0.564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77328179074512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47246608} λ = -0.47246608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77328179074512))-π/2
    2×atan(5.89015192321003)-π/2
    2×1.40262494748353-π/2
    2.80524989496705-1.57079632675     		φ = 1.23445357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47246608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.070312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23445357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.728980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 435 KachelY 223 -0.47246608 1.23445357 -27.070312 70.728980
    Oben rechts KachelX + 1 436 KachelY 223 -0.46633016 1.23445357 -26.718750 70.728980
    Unten links KachelX 435 KachelY + 1 224 -0.47246608 1.23242261 -27.070312 70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 436 KachelY + 1 224 -0.46633016 1.23242261 -26.718750 70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23445357-1.23242261) × R
    0.00203095999999992 × 6371000     		dl = 12939.2461599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23445357-1.23242261) × R
    0.00203095999999992 × 6371000     		dr = 12939.2461599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47246608--0.46633016) × cos(1.23445357) × R
    0.00613592000000002 × 0.330036986468592 × 6371000     		do = 12901.7881586448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47246608--0.46633016) × cos(1.23242261) × R
    0.00613592000000002 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 12976.7070632434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23445357)-sin(1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330036986468592-0.331953465734817)×R²
    abs(-0.46633016--0.47246608)×0.00191647926622429×R²
    0.00613592000000002×0.00191647926622429×6371000²
    0.00613592000000002×0.00191647926622429×40589641000000     		ar = 167424167.512443m²