Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4349 / 4548
↖ ↑ ↗
← S 19.476950°
E 11.118164°		 ← 4 606.87 m → S 19.476950°
E 11.162109°		 →
↑
4 606.30 m
↓
↑
4 606.30 m
↓
S 19.518376°
E 11.118164°		 ← 4 605.69 m →
21 217 882 m²		 S 19.518376°
E 11.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53094482421875 y=0.55523681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53094482421875 × 213)
    floor (0.53094482421875 × 8192)
    floor (4349.5)     		tx = 4349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55523681640625 × 213)
    floor (0.55523681640625 × 8192)
    floor (4548.5)     		ty = 4548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4349 / 4548 ti = "13/4349/4548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4349/4548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4349 ÷ 213
    4349 ÷ 8192     		x = 0.5308837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4548 ÷ 213
    4548 ÷ 8192     		y = 0.55517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5308837890625 × 2 - 1) × π
    0.061767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19404857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55517578125 × 2 - 1) × π
    -0.1103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.346679658052246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19404857} λ = 0.19404857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.346679658052246))-π/2
    2×atan(0.707031783922974)-π/2
    2×0.615429708727013-π/2
    1.23085941745403-1.57079632675     		φ = -0.33993691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19404857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.118164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33993691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.476950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4349 KachelY 4548 0.19404857 -0.33993691 11.118164 -19.476950
    Oben rechts KachelX + 1 4350 KachelY 4548 0.19481556 -0.33993691 11.162109 -19.476950
    Unten links KachelX 4349 KachelY + 1 4549 0.19404857 -0.34065992 11.118164 -19.518376
    Unten rechts KachelX + 1 4350 KachelY + 1 4549 0.19481556 -0.34065992 11.162109 -19.518376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33993691--0.34065992) × R
    0.000723010000000024 × 6371000     		dl = 4606.29671000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33993691--0.34065992) × R
    0.000723010000000024 × 6371000     		dr = 4606.29671000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19404857-0.19481556) × cos(-0.33993691) × R
    0.000766989999999995 × 0.94277570335273 × 6371000     		do = 4606.86714840811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19404857-0.19481556) × cos(-0.34065992) × R
    0.000766989999999995 × 0.94253438546029 × 6371000     		du = 4605.68795014595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33993691)-sin(-0.34065992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94277570335273-0.94253438546029)×R²
    abs(0.19481556-0.19404857)×0.000241317892439641×R²
    0.000766989999999995×0.000241317892439641×6371000²
    0.000766989999999995×0.000241317892439641×40589641000000     		ar = 21217882.0448753m²