Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 43481 / 93721
↖ ↑ ↗
← S 60.963777°
W 60.575867°		 ← 148.24 m → S 60.963777°
W 60.573120°		 →
↑
148.25 m
↓
↑
148.25 m
↓
S 60.965110°
W 60.575867°		 ← 148.24 m →
21 977 m²		 S 60.965110°
W 60.573120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331737518310547 y=0.715038299560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331737518310547 × 217)
    floor (0.331737518310547 × 131072)
    floor (43481.5)     		tx = 43481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715038299560547 × 217)
    floor (0.715038299560547 × 131072)
    floor (93721.5)     		ty = 93721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 43481 / 93721 ti = "17/43481/93721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/43481/93721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43481 ÷ 217
    43481 ÷ 131072     		x = 0.331733703613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93721 ÷ 217
    93721 ÷ 131072     		y = 0.715034484863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.331733703613281 × 2 - 1) × π
    -0.336532592773438 × 3.1415926535     		Λ = -1.05724832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.715034484863281 × 2 - 1) × π
    -0.430068969726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.35110151579128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05724832} λ = -1.05724832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35110151579128))-π/2
    2×atan(0.258954860620229)-π/2
    2×0.253388848050545-π/2
    0.506777696101089-1.57079632675     		φ = -1.06401863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05724832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.575867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06401863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.963777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43481 KachelY 93721 -1.05724832 -1.06401863 -60.575867 -60.963777
    Oben rechts KachelX + 1 43482 KachelY 93721 -1.05720038 -1.06401863 -60.573120 -60.963777
    Unten links KachelX 43481 KachelY + 1 93722 -1.05724832 -1.06404190 -60.575867 -60.965110
    Unten rechts KachelX + 1 43482 KachelY + 1 93722 -1.05720038 -1.06404190 -60.573120 -60.965110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06401863--1.06404190) × R
    2.32700000000197e-05 × 6371000     		dl = 148.253170000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06401863--1.06404190) × R
    2.32700000000197e-05 × 6371000     		dr = 148.253170000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05724832--1.05720038) × cos(-1.06401863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.485362469897323 × 6371000     		do = 148.24219153652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05724832--1.05720038) × cos(-1.06404190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.485342124501728 × 6371000     		du = 148.235977529015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06401863)-sin(-1.06404190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485362469897323-0.485342124501728)×R²
    abs(-1.05720038--1.05724832)×2.03453955949784e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03453955949784e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03453955949784e-05×40589641000000     		ar = 21976.9142010229m²