Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4347 / 2906
↖ ↑ ↗
← N 74.993566°
W 84.484863°		 ← 632.62 m → N 74.993566°
W 84.462891°		 →
↑
632.77 m
↓
↑
632.77 m
↓
N 74.987875°
W 84.484863°		 ← 632.85 m →
400 373 m²		 N 74.987875°
W 84.462891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265350341796875 y=0.177398681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265350341796875 × 214)
    floor (0.265350341796875 × 16384)
    floor (4347.5)     		tx = 4347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.177398681640625 × 214)
    floor (0.177398681640625 × 16384)
    floor (2906.5)     		ty = 2906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4347 / 2906 ti = "14/4347/2906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4347/2906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4347 ÷ 214
    4347 ÷ 16384     		x = 0.26531982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2906 ÷ 214
    2906 ÷ 16384     		y = 0.1773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26531982421875 × 2 - 1) × π
    -0.4693603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47453903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1773681640625 × 2 - 1) × π
    0.645263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.02715561113293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47453903} λ = -1.47453903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02715561113293))-π/2
    2×atan(7.59245970819122)-π/2
    2×1.4398404819005-π/2
    2.87968096380099-1.57079632675     		φ = 1.30888464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47453903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.484863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30888464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.993566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4347 KachelY 2906 -1.47453903 1.30888464 -84.484863 74.993566
    Oben rechts KachelX + 1 4348 KachelY 2906 -1.47415554 1.30888464 -84.462891 74.993566
    Unten links KachelX 4347 KachelY + 1 2907 -1.47453903 1.30878532 -84.484863 74.987875
    Unten rechts KachelX + 1 4348 KachelY + 1 2907 -1.47415554 1.30878532 -84.462891 74.987875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30888464-1.30878532) × R
    9.93200000001249e-05 × 6371000     		dl = 632.767720000796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30888464-1.30878532) × R
    9.93200000001249e-05 × 6371000     		dr = 632.767720000796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47453903--1.47415554) × cos(1.30888464) × R
    0.000383490000000153 × 0.258927515970559 × 6371000     		do = 632.615536557484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47453903--1.47415554) × cos(1.30878532) × R
    0.000383490000000153 × 0.259023447559026 × 6371000     		du = 632.849918033254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30888464)-sin(1.30878532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.258927515970559-0.259023447559026)×R²
    abs(-1.47415554--1.47453903)×9.59315884665468e-05×R²
    0.000383490000000153×9.59315884665468e-05×6371000²
    0.000383490000000153×9.59315884665468e-05×40589641000000     		ar = 400372.845548961m²