Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4346 / 242
↖ ↑ ↗
← N 84.570546°
W 84.506836°		 ← 231.18 m → N 84.570546°
W 84.484863°		 →
↑
231.20 m
↓
↑
231.20 m
↓
N 84.568466°
W 84.506836°		 ← 231.27 m →
53 461 m²		 N 84.568466°
W 84.484863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265289306640625 y=0.014801025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265289306640625 × 214)
    floor (0.265289306640625 × 16384)
    floor (4346.5)     		tx = 4346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.014801025390625 × 214)
    floor (0.014801025390625 × 16384)
    floor (242.5)     		ty = 242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4346 / 242 ti = "14/4346/242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4346/242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4346 ÷ 214
    4346 ÷ 16384     		x = 0.2652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 242 ÷ 214
    242 ÷ 16384     		y = 0.0147705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47492253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0147705078125 × 2 - 1) × π
    0.970458984375 × 3.1415926535     		Φ = 3.04878681583557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47492253} λ = -1.47492253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04878681583557))-π/2
    2×atan(21.0897431537277)-π/2
    2×1.52341540028017-π/2
    3.04683080056035-1.57079632675     		φ = 1.47603447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47492253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.506836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47603447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.570546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4346 KachelY 242 -1.47492253 1.47603447 -84.506836 84.570546
    Oben rechts KachelX + 1 4347 KachelY 242 -1.47453903 1.47603447 -84.484863 84.570546
    Unten links KachelX 4346 KachelY + 1 243 -1.47492253 1.47599818 -84.506836 84.568466
    Unten rechts KachelX + 1 4347 KachelY + 1 243 -1.47453903 1.47599818 -84.484863 84.568466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47603447-1.47599818) × R
    3.62900000001609e-05 × 6371000     		dl = 231.203590001025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47603447-1.47599818) × R
    3.62900000001609e-05 × 6371000     		dr = 231.203590001025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47492253--1.47453903) × cos(1.47603447) × R
    0.00038349999999987 × 0.0946200965551673 × 6371000     		do = 231.183247581086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47492253--1.47453903) × cos(1.47599818) × R
    0.00038349999999987 × 0.0946562236761038 × 6371000     		du = 231.271516198937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47603447)-sin(1.47599818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0946200965551673-0.0946562236761038)×R²
    abs(-1.47453903--1.47492253)×3.61271209365077e-05×R²
    0.00038349999999987×3.61271209365077e-05×6371000²
    0.00038349999999987×3.61271209365077e-05×40589641000000     		ar = 53460.6008054647m²