Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4345 / 6076
↖ ↑ ↗
← S 65.293468°
E 10.942383°		 ← 2 042.41 m → S 65.293468°
E 10.986328°		 →
↑
2 041.71 m
↓
↑
2 041.71 m
↓
S 65.311829°
E 10.942383°		 ← 2 040.99 m →
4 168 567 m²		 S 65.311829°
E 10.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53045654296875 y=0.74176025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53045654296875 × 213)
    floor (0.53045654296875 × 8192)
    floor (4345.5)     		tx = 4345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74176025390625 × 213)
    floor (0.74176025390625 × 8192)
    floor (6076.5)     		ty = 6076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4345 / 6076 ti = "13/4345/6076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4345/6076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4345 ÷ 213
    4345 ÷ 8192     		x = 0.5303955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6076 ÷ 213
    6076 ÷ 8192     		y = 0.74169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5303955078125 × 2 - 1) × π
    0.060791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19098061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74169921875 × 2 - 1) × π
    -0.4833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51864097996338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19098061} λ = 0.19098061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51864097996338))-π/2
    2×atan(0.219009322853726)-π/2
    2×0.215605166819682-π/2
    0.431210333639364-1.57079632675     		φ = -1.13958599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19098061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.942383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13958599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.293468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4345 KachelY 6076 0.19098061 -1.13958599 10.942383 -65.293468
    Oben rechts KachelX + 1 4346 KachelY 6076 0.19174760 -1.13958599 10.986328 -65.293468
    Unten links KachelX 4345 KachelY + 1 6077 0.19098061 -1.13990646 10.942383 -65.311829
    Unten rechts KachelX + 1 4346 KachelY + 1 6077 0.19174760 -1.13990646 10.986328 -65.311829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13958599--1.13990646) × R
    0.000320469999999906 × 6371000     		dl = 2041.7143699994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13958599--1.13990646) × R
    0.000320469999999906 × 6371000     		dr = 2041.7143699994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19098061-0.19174760) × cos(-1.13958599) × R
    0.000766989999999995 × 0.417970651512596 × 6371000     		do = 2042.41078403322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19098061-0.19174760) × cos(-1.13990646) × R
    0.000766989999999995 × 0.417679495708541 × 6371000     		du = 2040.98805315036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13958599)-sin(-1.13990646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417970651512596-0.417679495708541)×R²
    abs(0.19174760-0.19098061)×0.00029115580405531×R²
    0.000766989999999995×0.00029115580405531×6371000²
    0.000766989999999995×0.00029115580405531×40589641000000     		ar = 4168567.07783581m²