Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4345 / 2903
↖ ↑ ↗
← N 75.010624°
W 84.528808°		 ← 631.91 m → N 75.010624°
W 84.506836°		 →
↑
632 m
↓
↑
632 m
↓
N 75.004940°
W 84.528808°		 ← 632.15 m →
399 445 m²		 N 75.004940°
W 84.506836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265228271484375 y=0.177215576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265228271484375 × 214)
    floor (0.265228271484375 × 16384)
    floor (4345.5)     		tx = 4345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.177215576171875 × 214)
    floor (0.177215576171875 × 16384)
    floor (2903.5)     		ty = 2903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4345 / 2903 ti = "14/4345/2903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4345/2903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4345 ÷ 214
    4345 ÷ 16384     		x = 0.26519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2903 ÷ 214
    2903 ÷ 16384     		y = 0.17718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.4696044921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47530602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17718505859375 × 2 - 1) × π
    0.6456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.02830609672382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47530602} λ = -1.47530602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02830609672382))-π/2
    2×atan(7.6011997503671)-π/2
    2×1.43998934536046-π/2
    2.87997869072092-1.57079632675     		φ = 1.30918236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47530602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.528808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30918236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.010624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4345 KachelY 2903 -1.47530602 1.30918236 -84.528808 75.010624
    Oben rechts KachelX + 1 4346 KachelY 2903 -1.47492253 1.30918236 -84.506836 75.010624
    Unten links KachelX 4345 KachelY + 1 2904 -1.47530602 1.30908316 -84.528808 75.004940
    Unten rechts KachelX + 1 4346 KachelY + 1 2904 -1.47492253 1.30908316 -84.506836 75.004940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30918236-1.30908316) × R
    9.9200000000188e-05 × 6371000     		dl = 632.003200001198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30918236-1.30908316) × R
    9.9200000000188e-05 × 6371000     		dr = 632.003200001198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47530602--1.47492253) × cos(1.30918236) × R
    0.000383490000000153 × 0.258639937717581 × 6371000     		do = 631.912921116524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47530602--1.47492253) × cos(1.30908316) × R
    0.000383490000000153 × 0.258735761045809 × 6371000     		du = 632.147038089279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30918236)-sin(1.30908316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.258639937717581-0.258735761045809)×R²
    abs(-1.47492253--1.47530602)×9.58233282287724e-05×R²
    0.000383490000000153×9.58233282287724e-05×6371000²
    0.000383490000000153×9.58233282287724e-05×40589641000000     		ar = 399444.96993365m²