Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4342 / 6085
↖ ↑ ↗
← S 65.458261°
E 10.810547°		 ← 2 029.63 m → S 65.458261°
E 10.854492°		 →
↑
2 028.91 m
↓
↑
2 028.91 m
↓
S 65.476508°
E 10.810547°		 ← 2 028.22 m →
4 116 507 m²		 S 65.476508°
E 10.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53009033203125 y=0.74285888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53009033203125 × 213)
    floor (0.53009033203125 × 8192)
    floor (4342.5)     		tx = 4342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74285888671875 × 213)
    floor (0.74285888671875 × 8192)
    floor (6085.5)     		ty = 6085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4342 / 6085 ti = "13/4342/6085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4342/6085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4342 ÷ 213
    4342 ÷ 8192     		x = 0.530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6085 ÷ 213
    6085 ÷ 8192     		y = 0.7427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530029296875 × 2 - 1) × π
    0.06005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18867964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.485595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52554389350867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18867964} λ = 0.18867964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52554389350867))-π/2
    2×atan(0.217502726367566)-π/2
    2×0.214167075052936-π/2
    0.428334150105872-1.57079632675     		φ = -1.14246218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18867964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14246218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.458261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4342 KachelY 6085 0.18867964 -1.14246218 10.810547 -65.458261
    Oben rechts KachelX + 1 4343 KachelY 6085 0.18944663 -1.14246218 10.854492 -65.458261
    Unten links KachelX 4342 KachelY + 1 6086 0.18867964 -1.14278064 10.810547 -65.476508
    Unten rechts KachelX + 1 4343 KachelY + 1 6086 0.18944663 -1.14278064 10.854492 -65.476508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14246218--1.14278064) × R
    0.000318459999999909 × 6371000     		dl = 2028.90865999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14246218--1.14278064) × R
    0.000318459999999909 × 6371000     		dr = 2028.90865999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18867964-0.18944663) × cos(-1.14246218) × R
    0.000766989999999995 × 0.415356021200072 × 6371000     		do = 2029.63441055524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18867964-0.18944663) × cos(-1.14278064) × R
    0.000766989999999995 × 0.415066310158911 × 6371000     		du = 2028.21873949656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14246218)-sin(-1.14278064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415356021200072-0.415066310158911)×R²
    abs(0.18944663-0.18867964)×0.000289711041161378×R²
    0.000766989999999995×0.000289711041161378×6371000²
    0.000766989999999995×0.000289711041161378×40589641000000     		ar = 4116506.73336311m²