Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4341 / 3161
↖ ↑ ↗
← N 80.940543°
W132.308350°		 ← 192.36 m → N 80.940543°
W132.297363°		 →
↑
192.34 m
↓
↑
192.34 m
↓
N 80.938813°
W132.308350°		 ← 192.39 m →
37 002 m²		 N 80.938813°
W132.297363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132492065429688 y=0.0964813232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132492065429688 × 215)
    floor (0.132492065429688 × 32768)
    floor (4341.5)     		tx = 4341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0964813232421875 × 215)
    floor (0.0964813232421875 × 32768)
    floor (3161.5)     		ty = 3161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4341 / 3161 ti = "15/4341/3161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4341/3161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4341 ÷ 215
    4341 ÷ 32768     		x = 0.132476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3161 ÷ 215
    3161 ÷ 32768     		y = 0.096466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.132476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.73504638671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.30921633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096466064453125 × 2 - 1) × π
    0.80706787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53547849470401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30921633} λ = -2.30921633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53547849470401))-π/2
    2×atan(12.6224691879228)-π/2
    2×1.49173765041992-π/2
    2.98347530083984-1.57079632675     		φ = 1.41267897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30921633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.308350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41267897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.940543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4341 KachelY 3161 -2.30921633 1.41267897 -132.308350 80.940543
    Oben rechts KachelX + 1 4342 KachelY 3161 -2.30902458 1.41267897 -132.297363 80.940543
    Unten links KachelX 4341 KachelY + 1 3162 -2.30921633 1.41264878 -132.308350 80.938813
    Unten rechts KachelX + 1 4342 KachelY + 1 3162 -2.30902458 1.41264878 -132.297363 80.938813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41267897-1.41264878) × R
    3.018999999993e-05 × 6371000     		dl = 192.340489999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41267897-1.41264878) × R
    3.018999999993e-05 × 6371000     		dr = 192.340489999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30921633--2.30902458) × cos(1.41267897) × R
    0.000191749999999935 × 0.157459328635928 × 6371000     		do = 192.358496140234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30921633--2.30902458) × cos(1.41264878) × R
    0.000191749999999935 × 0.157489141958196 × 6371000     		du = 192.394917264889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41267897)-sin(1.41264878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157459328635928-0.157489141958196)×R²
    abs(-2.30902458--2.30921633)×2.98133222682295e-05×R²
    0.000191749999999935×2.98133222682295e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.98133222682295e-05×40589641000000     		ar = 37001.8300342872m²