Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 434 / 339
↖ ↑ ↗
← N 76.058508°
W103.710938°		 ← 4 709.23 m → N 76.058508°
W103.535156°		 →
↑
4 716.26 m
↓
↑
4 716.26 m
↓
N 76.016094°
W103.710938°		 ← 4 723.27 m →
22 243 066 m²		 N 76.016094°
W103.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212158203125 y=0.165771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212158203125 × 211)
    floor (0.212158203125 × 2048)
    floor (434.5)     		tx = 434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165771484375 × 211)
    floor (0.165771484375 × 2048)
    floor (339.5)     		ty = 339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 434 / 339 ti = "11/434/339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/434/339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 434 ÷ 211
    434 ÷ 2048     		x = 0.2119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 339 ÷ 211
    339 ÷ 2048     		y = 0.16552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2119140625 × 2 - 1) × π
    -0.576171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.81009733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16552734375 × 2 - 1) × π
    0.6689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10155367934326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81009733} λ = -1.81009733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10155367934326))-π/2
    2×atan(8.17886738341924)-π/2
    2×1.44913385705188-π/2
    2.89826771410375-1.57079632675     		φ = 1.32747139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81009733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.710938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32747139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.058508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 434 KachelY 339 -1.81009733 1.32747139 -103.710938 76.058508
    Oben rechts KachelX + 1 435 KachelY 339 -1.80702937 1.32747139 -103.535156 76.058508
    Unten links KachelX 434 KachelY + 1 340 -1.81009733 1.32673112 -103.710938 76.016094
    Unten rechts KachelX + 1 435 KachelY + 1 340 -1.80702937 1.32673112 -103.535156 76.016094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32747139-1.32673112) × R
    0.000740269999999876 × 6371000     		dl = 4716.26016999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32747139-1.32673112) × R
    0.000740269999999876 × 6371000     		dr = 4716.26016999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81009733--1.80702937) × cos(1.32747139) × R
    0.00306796000000009 × 0.240930943924902 × 6371000     		do = 4709.22976336974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81009733--1.80702937) × cos(1.32673112) × R
    0.00306796000000009 × 0.241649341163748 × 6371000     		du = 4723.27153651844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32747139)-sin(1.32673112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240930943924902-0.241649341163748)×R²
    abs(-1.80702937--1.81009733)×0.000718397238845869×R²
    0.00306796000000009×0.000718397238845869×6371000²
    0.00306796000000009×0.000718397238845869×40589641000000     		ar = 22243066.1078272m²