Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 434 / 121
↖ ↑ ↗
← N 79.624057°
W 27.421875°		 ← 7 040.71 m → N 79.624057°
W 27.070312°		 →
↑
7 062 m
↓
↑
7 062 m
↓
N 79.560546°
W 27.421875°		 ← 7 083.33 m →
49 871 991 m²		 N 79.560546°
W 27.070312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42431640625 y=0.11865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42431640625 × 210)
    floor (0.42431640625 × 1024)
    floor (434.5)     		tx = 434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11865234375 × 210)
    floor (0.11865234375 × 1024)
    floor (121.5)     		ty = 121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 434 / 121 ti = "10/434/121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/434/121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 434 ÷ 210
    434 ÷ 1024     		x = 0.423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121 ÷ 210
    121 ÷ 1024     		y = 0.1181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423828125 × 2 - 1) × π
    -0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1181640625 × 2 - 1) × π
    0.763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39914595218457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47860201} λ = -0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39914595218457))-π/2
    2×atan(11.01376607993)-π/2
    2×1.48024913643465-π/2
    2.9604982728693-1.57079632675     		φ = 1.38970195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38970195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.624057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 434 KachelY 121 -0.47860201 1.38970195 -27.421875 79.624057
    Oben rechts KachelX + 1 435 KachelY 121 -0.47246608 1.38970195 -27.070312 79.624057
    Unten links KachelX 434 KachelY + 1 122 -0.47860201 1.38859349 -27.421875 79.560546
    Unten rechts KachelX + 1 435 KachelY + 1 122 -0.47246608 1.38859349 -27.070312 79.560546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38970195-1.38859349) × R
    0.00110845999999998 × 6371000     		dl = 7061.99865999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38970195-1.38859349) × R
    0.00110845999999998 × 6371000     		dr = 7061.99865999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47860201--0.47246608) × cos(1.38970195) × R
    0.00613593000000001 × 0.180106161709778 × 6371000     		do = 7040.71188002345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47860201--0.47246608) × cos(1.38859349) × R
    0.00613593000000001 × 0.181196384390541 × 6371000     		du = 7083.33087599477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38970195)-sin(1.38859349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180106161709778-0.181196384390541)×R²
    abs(-0.47246608--0.47860201)×0.00109022268076309×R²
    0.00613593000000001×0.00109022268076309×6371000²
    0.00613593000000001×0.00109022268076309×40589641000000     		ar = 49871990.6147994m²