Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 43398 / 93830
↖ ↑ ↗
← S 61.108752°
W 60.803833°		 ← 147.54 m → S 61.108752°
W 60.801087°		 →
↑
147.55 m
↓
↑
147.55 m
↓
S 61.110079°
W 60.803833°		 ← 147.53 m →
21 769 m²		 S 61.110079°
W 60.801087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331104278564453 y=0.715869903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331104278564453 × 217)
    floor (0.331104278564453 × 131072)
    floor (43398.5)     		tx = 43398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715869903564453 × 217)
    floor (0.715869903564453 × 131072)
    floor (93830.5)     		ty = 93830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 43398 / 93830 ti = "17/43398/93830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/43398/93830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43398 ÷ 217
    43398 ÷ 131072     		x = 0.331100463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93830 ÷ 217
    93830 ÷ 131072     		y = 0.715866088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.331100463867188 × 2 - 1) × π
    -0.337799072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.06122708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.715866088867188 × 2 - 1) × π
    -0.431732177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.35632663784987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.06122708} λ = -1.06122708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35632663784987))-π/2
    2×atan(0.25760531869688)-π/2
    2×0.252123702374019-π/2
    0.504247404748038-1.57079632675     		φ = -1.06654892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.06122708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.803833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06654892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.108752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43398 KachelY 93830 -1.06122708 -1.06654892 -60.803833 -61.108752
    Oben rechts KachelX + 1 43399 KachelY 93830 -1.06117915 -1.06654892 -60.801087 -61.108752
    Unten links KachelX 43398 KachelY + 1 93831 -1.06122708 -1.06657208 -60.803833 -61.110079
    Unten rechts KachelX + 1 43399 KachelY + 1 93831 -1.06117915 -1.06657208 -60.801087 -61.110079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06654892--1.06657208) × R
    2.31600000000221e-05 × 6371000     		dl = 147.55236000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06654892--1.06657208) × R
    2.31600000000221e-05 × 6371000     		dr = 147.55236000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.06122708--1.06117915) × cos(-1.06654892) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.483148653009981 × 6371000     		do = 147.535253474984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.06122708--1.06117915) × cos(-1.06657208) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.483128375412527 × 6371000     		du = 147.529061466662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06654892)-sin(-1.06657208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.483148653009981-0.483128375412527)×R²
    abs(-1.06117915--1.06122708)×2.02775974540437e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.02775974540437e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.02775974540437e-05×40589641000000     		ar = 21768.7180118673m²