Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 43392 / 93824
↖ ↑ ↗
← S 61.100789°
W 60.820313°		 ← 147.60 m → S 61.100789°
W 60.817566°		 →
↑
147.62 m
↓
↑
147.62 m
↓
S 61.102116°
W 60.820313°		 ← 147.60 m →
21 788 m²		 S 61.102116°
W 60.817566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331058502197266 y=0.715824127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331058502197266 × 217)
    floor (0.331058502197266 × 131072)
    floor (43392.5)     		tx = 43392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715824127197266 × 217)
    floor (0.715824127197266 × 131072)
    floor (93824.5)     		ty = 93824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 43392 / 93824 ti = "17/43392/93824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/43392/93824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43392 ÷ 217
    43392 ÷ 131072     		x = 0.3310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93824 ÷ 217
    93824 ÷ 131072     		y = 0.7158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3310546875 × 2 - 1) × π
    -0.337890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.06151471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7158203125 × 2 - 1) × π
    -0.431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.35603901645215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.06151471} λ = -1.06151471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35603901645215))-π/2
    2×atan(0.257679422155063)-π/2
    2×0.25219319306831-π/2
    0.504386386136621-1.57079632675     		φ = -1.06640994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.06151471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.820313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06640994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.100789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43392 KachelY 93824 -1.06151471 -1.06640994 -60.820313 -61.100789
    Oben rechts KachelX + 1 43393 KachelY 93824 -1.06146677 -1.06640994 -60.817566 -61.100789
    Unten links KachelX 43392 KachelY + 1 93825 -1.06151471 -1.06643311 -60.820313 -61.102116
    Unten rechts KachelX + 1 43393 KachelY + 1 93825 -1.06146677 -1.06643311 -60.817566 -61.102116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06640994--1.06643311) × R
    2.31699999999613e-05 × 6371000     		dl = 147.616069999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06640994--1.06643311) × R
    2.31699999999613e-05 × 6371000     		dr = 147.616069999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.06151471--1.06146677) × cos(-1.06640994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.483270330661515 × 6371000     		do = 147.603198362241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.06151471--1.06146677) × cos(-1.06643311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.483250045864548 × 6371000     		du = 147.597002863117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06640994)-sin(-1.06643311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.483270330661515-0.483250045864548)×R²
    abs(-1.06146677--1.06151471)×2.02847969668629e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02847969668629e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02847969668629e-05×40589641000000     		ar = 21788.1467848328m²