Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4337 / 4527
↖ ↑ ↗
← S 18.604601°
E 10.590820°		 ← 4 631.20 m → S 18.604601°
E 10.634766°		 →
↑
4 630.57 m
↓
↑
4 630.57 m
↓
S 18.646245°
E 10.590820°		 ← 4 630.06 m →
21 442 468 m²		 S 18.646245°
E 10.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52947998046875 y=0.55267333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52947998046875 × 213)
    floor (0.52947998046875 × 8192)
    floor (4337.5)     		tx = 4337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55267333984375 × 213)
    floor (0.55267333984375 × 8192)
    floor (4527.5)     		ty = 4527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4337 / 4527 ti = "13/4337/4527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4337/4527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4337 ÷ 213
    4337 ÷ 8192     		x = 0.5294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4527 ÷ 213
    4527 ÷ 8192     		y = 0.5526123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5294189453125 × 2 - 1) × π
    0.058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18484468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5526123046875 × 2 - 1) × π
    -0.105224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.330572859779907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18484468} λ = 0.18484468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.330572859779907))-π/2
    2×atan(0.718512008881699)-π/2
    2×0.623042388277099-π/2
    1.2460847765542-1.57079632675     		φ = -0.32471155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18484468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32471155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.604601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4337 KachelY 4527 0.18484468 -0.32471155 10.590820 -18.604601
    Oben rechts KachelX + 1 4338 KachelY 4527 0.18561168 -0.32471155 10.634766 -18.604601
    Unten links KachelX 4337 KachelY + 1 4528 0.18484468 -0.32543837 10.590820 -18.646245
    Unten rechts KachelX + 1 4338 KachelY + 1 4528 0.18561168 -0.32543837 10.634766 -18.646245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32471155--0.32543837) × R
    0.000726819999999961 × 6371000     		dl = 4630.57021999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32471155--0.32543837) × R
    0.000726819999999961 × 6371000     		dr = 4630.57021999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18484468-0.18561168) × cos(-0.32471155) × R
    0.00076699999999999 × 0.947742791608937 × 6371000     		do = 4631.19917253613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18484468-0.18561168) × cos(-0.32543837) × R
    0.00076699999999999 × 0.94751065997265 × 6371000     		du = 4630.06484806391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32471155)-sin(-0.32543837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947742791608937-0.94751065997265)×R²
    abs(0.18561168-0.18484468)×0.00023213163628677×R²
    0.00076699999999999×0.00023213163628677×6371000²
    0.00076699999999999×0.00023213163628677×40589641000000     		ar = 21442467.6306187m²