Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4336 / 4495
↖ ↑ ↗
← S 17.266728°
E 10.546875°		 ← 4 666.28 m → S 17.266728°
E 10.590820°		 →
↑
4 665.74 m
↓
↑
4 665.74 m
↓
S 17.308688°
E 10.546875°		 ← 4 665.21 m →
21 769 139 m²		 S 17.308688°
E 10.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52935791015625 y=0.54876708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52935791015625 × 213)
    floor (0.52935791015625 × 8192)
    floor (4336.5)     		tx = 4336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.54876708984375 × 213)
    floor (0.54876708984375 × 8192)
    floor (4495.5)     		ty = 4495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4336 / 4495 ti = "13/4336/4495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4336/4495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4336 ÷ 213
    4336 ÷ 8192     		x = 0.529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4495 ÷ 213
    4495 ÷ 8192     		y = 0.5487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529296875 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5487060546875 × 2 - 1) × π
    -0.097412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.306029167174438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18407769} λ = 0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.306029167174438))-π/2
    2×atan(0.736365141452344)-π/2
    2×0.634717537618551-π/2
    1.2694350752371-1.57079632675     		φ = -0.30136125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30136125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.266728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4336 KachelY 4495 0.18407769 -0.30136125 10.546875 -17.266728
    Oben rechts KachelX + 1 4337 KachelY 4495 0.18484468 -0.30136125 10.590820 -17.266728
    Unten links KachelX 4336 KachelY + 1 4496 0.18407769 -0.30209359 10.546875 -17.308688
    Unten rechts KachelX + 1 4337 KachelY + 1 4496 0.18484468 -0.30209359 10.590820 -17.308688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30136125--0.30209359) × R
    0.000732339999999998 × 6371000     		dl = 4665.73813999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30136125--0.30209359) × R
    0.000732339999999998 × 6371000     		dr = 4665.73813999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18407769-0.18484468) × cos(-0.30136125) × R
    0.000766990000000023 × 0.954933327248658 × 6371000     		do = 4666.27529599808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18407769-0.18484468) × cos(-0.30209359) × R
    0.000766990000000023 × 0.954715697752077 × 6371000     		du = 4665.21185092333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30136125)-sin(-0.30209359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954933327248658-0.954715697752077)×R²
    abs(0.18484468-0.18407769)×0.000217629496580662×R²
    0.000766990000000023×0.000217629496580662×6371000²
    0.000766990000000023×0.000217629496580662×40589641000000     		ar = 21769138.715094m²