Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4332 / 12859
↖ ↑ ↗
← S 71.038391°
W 84.814453°		 ← 793.88 m → S 71.038391°
W 84.792481°		 →
↑
793.76 m
↓
↑
793.76 m
↓
S 71.045529°
W 84.814453°		 ← 793.60 m →
630 042 m²		 S 71.045529°
W 84.792481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264434814453125 y=0.784881591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264434814453125 × 214)
    floor (0.264434814453125 × 16384)
    floor (4332.5)     		tx = 4332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784881591796875 × 214)
    floor (0.784881591796875 × 16384)
    floor (12859.5)     		ty = 12859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4332 / 12859 ti = "14/4332/12859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4332/12859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4332 ÷ 214
    4332 ÷ 16384     		x = 0.264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12859 ÷ 214
    12859 ÷ 16384     		y = 0.78485107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.47119140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.48029146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.5697021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78977208421442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48029146} λ = -1.48029146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78977208421442))-π/2
    2×atan(0.166998226862025)-π/2
    2×0.165471259168336-π/2
    0.330942518336672-1.57079632675     		φ = -1.23985381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48029146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.814453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23985381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.038391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4332 KachelY 12859 -1.48029146 -1.23985381 -84.814453 -71.038391
    Oben rechts KachelX + 1 4333 KachelY 12859 -1.47990797 -1.23985381 -84.792481 -71.038391
    Unten links KachelX 4332 KachelY + 1 12860 -1.48029146 -1.23997840 -84.814453 -71.045529
    Unten rechts KachelX + 1 4333 KachelY + 1 12860 -1.47990797 -1.23997840 -84.792481 -71.045529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23985381--1.23997840) × R
    0.00012458999999998 × 6371000     		dl = 793.762889999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23985381--1.23997840) × R
    0.00012458999999998 × 6371000     		dr = 793.762889999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48029146--1.47990797) × cos(-1.23985381) × R
    0.000383489999999931 × 0.324934545130469 × 6371000     		do = 793.88488644454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48029146--1.47990797) × cos(-1.23997840) × R
    0.000383489999999931 × 0.324816713297394 × 6371000     		du = 793.59699796724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23985381)-sin(-1.23997840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324934545130469-0.324816713297394)×R²
    abs(-1.47990797--1.48029146)×0.000117831833074455×R²
    0.000383489999999931×0.000117831833074455×6371000²
    0.000383489999999931×0.000117831833074455×40589641000000     		ar = 630042.105012327m²