Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4331 / 12863
↖ ↑ ↗
← S 71.066928°
W 84.836426°		 ← 792.75 m → S 71.066928°
W 84.814453°		 →
↑
792.62 m
↓
↑
792.62 m
↓
S 71.074057°
W 84.836426°		 ← 792.47 m →
628 236 m²		 S 71.074057°
W 84.814453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264373779296875 y=0.785125732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264373779296875 × 214)
    floor (0.264373779296875 × 16384)
    floor (4331.5)     		tx = 4331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785125732421875 × 214)
    floor (0.785125732421875 × 16384)
    floor (12863.5)     		ty = 12863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4331 / 12863 ti = "14/4331/12863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4331/12863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4331 ÷ 214
    4331 ÷ 16384     		x = 0.26434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12863 ÷ 214
    12863 ÷ 16384     		y = 0.78509521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.4713134765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.48067496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78509521484375 × 2 - 1) × π
    -0.5701904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79130606500226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48067496} λ = -1.48067496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79130606500226))-π/2
    2×atan(0.166742251171505)-π/2
    2×0.165222218193492-π/2
    0.330444436386984-1.57079632675     		φ = -1.24035189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48067496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.836426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24035189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.066928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4331 KachelY 12863 -1.48067496 -1.24035189 -84.836426 -71.066928
    Oben rechts KachelX + 1 4332 KachelY 12863 -1.48029146 -1.24035189 -84.814453 -71.066928
    Unten links KachelX 4331 KachelY + 1 12864 -1.48067496 -1.24047630 -84.836426 -71.074057
    Unten rechts KachelX + 1 4332 KachelY + 1 12864 -1.48029146 -1.24047630 -84.814453 -71.074057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24035189--1.24047630) × R
    0.000124410000000186 × 6371000     		dl = 792.616110001184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24035189--1.24047630) × R
    0.000124410000000186 × 6371000     		dr = 792.616110001184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48067496--1.48029146) × cos(-1.24035189) × R
    0.000383500000000092 × 0.324463452404873 × 6371000     		do = 792.754577296791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48067496--1.48029146) × cos(-1.24047630) × R
    0.000383500000000092 × 0.324345770694955 × 6371000     		du = 792.467048105103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24035189)-sin(-1.24047630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324463452404873-0.324345770694955)×R²
    abs(-1.48029146--1.48067496)×0.000117681709918771×R²
    0.000383500000000092×0.000117681709918771×6371000²
    0.000383500000000092×0.000117681709918771×40589641000000     		ar = 628236.099917677m²