Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4329 / 4539
↖ ↑ ↗
← S 19.103648°
E 10.239258°		 ← 4 617.38 m → S 19.103648°
E 10.283203°		 →
↑
4 616.81 m
↓
↑
4 616.81 m
↓
S 19.145168°
E 10.239258°		 ← 4 616.22 m →
21 314 906 m²		 S 19.145168°
E 10.283203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52850341796875 y=0.55413818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52850341796875 × 213)
    floor (0.52850341796875 × 8192)
    floor (4329.5)     		tx = 4329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55413818359375 × 213)
    floor (0.55413818359375 × 8192)
    floor (4539.5)     		ty = 4539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4329 / 4539 ti = "13/4329/4539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4329/4539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4329 ÷ 213
    4329 ÷ 8192     		x = 0.5284423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4539 ÷ 213
    4539 ÷ 8192     		y = 0.5540771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5284423828125 × 2 - 1) × π
    0.056884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17870876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5540771484375 × 2 - 1) × π
    -0.108154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.339776744506958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17870876} λ = 0.17870876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.339776744506958))-π/2
    2×atan(0.71192924713666)-π/2
    2×0.618687382834842-π/2
    1.23737476566968-1.57079632675     		φ = -0.33342156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17870876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.239258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33342156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.103648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4329 KachelY 4539 0.17870876 -0.33342156 10.239258 -19.103648
    Oben rechts KachelX + 1 4330 KachelY 4539 0.17947575 -0.33342156 10.283203 -19.103648
    Unten links KachelX 4329 KachelY + 1 4540 0.17870876 -0.33414622 10.239258 -19.145168
    Unten rechts KachelX + 1 4330 KachelY + 1 4540 0.17947575 -0.33414622 10.283203 -19.145168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33342156--0.33414622) × R
    0.000724659999999988 × 6371000     		dl = 4616.80885999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33342156--0.33414622) × R
    0.000724659999999988 × 6371000     		dr = 4616.80885999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17870876-0.17947575) × cos(-0.33342156) × R
    0.000766989999999995 × 0.944928075339579 × 6371000     		do = 4617.38469967944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17870876-0.17947575) × cos(-0.33414622) × R
    0.000766989999999995 × 0.944690661931055 × 6371000     		du = 4616.22458065173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33342156)-sin(-0.33414622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944928075339579-0.944690661931055)×R²
    abs(0.17947575-0.17870876)×0.000237413408524123×R²
    0.000766989999999995×0.000237413408524123×6371000²
    0.000766989999999995×0.000237413408524123×40589641000000     		ar = 21314905.500368m²