Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4324 / 4508
↖ ↑ ↗
← S 17.811456°
E 10.019531°		 ← 4 652.28 m → S 17.811456°
E 10.063477°		 →
↑
4 651.72 m
↓
↑
4 651.72 m
↓
S 17.853290°
E 10.019531°		 ← 4 651.18 m →
21 638 550 m²		 S 17.853290°
E 10.063477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52789306640625 y=0.55035400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52789306640625 × 213)
    floor (0.52789306640625 × 8192)
    floor (4324.5)     		tx = 4324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55035400390625 × 213)
    floor (0.55035400390625 × 8192)
    floor (4508.5)     		ty = 4508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4324 / 4508 ti = "13/4324/4508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4324/4508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4324 ÷ 213
    4324 ÷ 8192     		x = 0.52783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4508 ÷ 213
    4508 ÷ 8192     		y = 0.55029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52783203125 × 2 - 1) × π
    0.0556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17487381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55029296875 × 2 - 1) × π
    -0.1005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.31600004229541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17487381} λ = 0.17487381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.31600004229541))-π/2
    2×atan(0.729059419331756)-π/2
    2×0.629963886741827-π/2
    1.25992777348365-1.57079632675     		φ = -0.31086855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17487381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31086855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.811456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4324 KachelY 4508 0.17487381 -0.31086855 10.019531 -17.811456
    Oben rechts KachelX + 1 4325 KachelY 4508 0.17564080 -0.31086855 10.063477 -17.811456
    Unten links KachelX 4324 KachelY + 1 4509 0.17487381 -0.31159869 10.019531 -17.853290
    Unten rechts KachelX + 1 4325 KachelY + 1 4509 0.17564080 -0.31159869 10.063477 -17.853290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31086855--0.31159869) × R
    0.00073013999999999 × 6371000     		dl = 4651.72193999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31086855--0.31159869) × R
    0.00073013999999999 × 6371000     		dr = 4651.72193999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17487381-0.17564080) × cos(-0.31086855) × R
    0.000766990000000023 × 0.952068252030094 × 6371000     		do = 4652.27512516722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17487381-0.17564080) × cos(-0.31159869) × R
    0.000766990000000023 × 0.951844658910524 × 6371000     		du = 4651.18253888875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31086855)-sin(-0.31159869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952068252030094-0.951844658910524)×R²
    abs(0.17564080-0.17487381)×0.000223593119570764×R²
    0.000766990000000023×0.000223593119570764×6371000²
    0.000766990000000023×0.000223593119570764×40589641000000     		ar = 21638550.0281753m²