Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4322 / 4513
↖ ↑ ↗
← S 18.020528°
E  9.931641°		 ← 4 646.79 m → S 18.020528°
E  9.975586°		 →
↑
4 646.24 m
↓
↑
4 646.24 m
↓
S 18.062312°
E  9.931641°		 ← 4 645.69 m →
21 587 552 m²		 S 18.062312°
E  9.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52764892578125 y=0.55096435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52764892578125 × 213)
    floor (0.52764892578125 × 8192)
    floor (4322.5)     		tx = 4322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55096435546875 × 213)
    floor (0.55096435546875 × 8192)
    floor (4513.5)     		ty = 4513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4322 / 4513 ti = "13/4322/4513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4322/4513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4322 ÷ 213
    4322 ÷ 8192     		x = 0.527587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4513 ÷ 213
    4513 ÷ 8192     		y = 0.5509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527587890625 × 2 - 1) × π
    0.05517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17333983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5509033203125 × 2 - 1) × π
    -0.101806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.319834994265015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17333983} λ = 0.17333983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.319834994265015))-π/2
    2×atan(0.726268865715197)-π/2
    2×0.628139393113682-π/2
    1.25627878622736-1.57079632675     		φ = -0.31451754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17333983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31451754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.020528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4322 KachelY 4513 0.17333983 -0.31451754 9.931641 -18.020528
    Oben rechts KachelX + 1 4323 KachelY 4513 0.17410682 -0.31451754 9.975586 -18.020528
    Unten links KachelX 4322 KachelY + 1 4514 0.17333983 -0.31524682 9.931641 -18.062312
    Unten rechts KachelX + 1 4323 KachelY + 1 4514 0.17410682 -0.31524682 9.975586 -18.062312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31451754--0.31524682) × R
    0.000729279999999999 × 6371000     		dl = 4646.24287999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31451754--0.31524682) × R
    0.000729279999999999 × 6371000     		dr = 4646.24287999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17333983-0.17410682) × cos(-0.31451754) × R
    0.000766989999999995 × 0.950945742305645 × 6371000     		do = 4646.78998893057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17333983-0.17410682) × cos(-0.31524682) × R
    0.000766989999999995 × 0.95071988105209 × 6371000     		du = 4645.68631943061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31451754)-sin(-0.31524682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950945742305645-0.95071988105209)×R²
    abs(0.17410682-0.17333983)×0.000225861253554727×R²
    0.000766989999999995×0.000225861253554727×6371000²
    0.000766989999999995×0.000225861253554727×40589641000000     		ar = 21587551.8994241m²