Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4316 / 3796
↖ ↑ ↗
← N 79.773365°
W132.583008°		 ← 216.89 m → N 79.773365°
W132.572021°		 →
↑
216.93 m
↓
↑
216.93 m
↓
N 79.771414°
W132.583008°		 ← 216.93 m →
47 055 m²		 N 79.771414°
W132.572021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131729125976562 y=0.115859985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131729125976562 × 215)
    floor (0.131729125976562 × 32768)
    floor (4316.5)     		tx = 4316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115859985351562 × 215)
    floor (0.115859985351562 × 32768)
    floor (3796.5)     		ty = 3796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4316 / 3796 ti = "15/4316/3796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4316/3796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4316 ÷ 215
    4316 ÷ 32768     		x = 0.1317138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3796 ÷ 215
    3796 ÷ 32768     		y = 0.1158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1317138671875 × 2 - 1) × π
    -0.736572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.31401002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1158447265625 × 2 - 1) × π
    0.768310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41371876966907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31401002} λ = -2.31401002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41371876966907))-π/2
    2×atan(11.1754428647436)-π/2
    2×1.48155210109207-π/2
    2.96310420218414-1.57079632675     		φ = 1.39230788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31401002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.583008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39230788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.773365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4316 KachelY 3796 -2.31401002 1.39230788 -132.583008 79.773365
    Oben rechts KachelX + 1 4317 KachelY 3796 -2.31381827 1.39230788 -132.572021 79.773365
    Unten links KachelX 4316 KachelY + 1 3797 -2.31401002 1.39227383 -132.583008 79.771414
    Unten rechts KachelX + 1 4317 KachelY + 1 3797 -2.31381827 1.39227383 -132.572021 79.771414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39230788-1.39227383) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dl = 216.932550000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39230788-1.39227383) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dr = 216.932550000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31401002--2.31381827) × cos(1.39230788) × R
    0.000191749999999935 × 0.17754223738224 × 6371000     		do = 216.892565718889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31401002--2.31381827) × cos(1.39227383) × R
    0.000191749999999935 × 0.177575746333142 × 6371000     		du = 216.933501568536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39230788)-sin(1.39227383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17754223738224-0.177575746333142)×R²
    abs(-2.31381827--2.31401002)×3.35089509011788e-05×R²
    0.000191749999999935×3.35089509011788e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.35089509011788e-05×40589641000000     		ar = 47055.4975213327m²