Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4315 / 4531
↖ ↑ ↗
← S 18.771115°
E  9.624024°		 ← 4 626.59 m → S 18.771115°
E  9.667969°		 →
↑
4 626.05 m
↓
↑
4 626.05 m
↓
S 18.812718°
E  9.624024°		 ← 4 625.45 m →
21 400 172 m²		 S 18.812718°
E  9.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52679443359375 y=0.55316162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52679443359375 × 213)
    floor (0.52679443359375 × 8192)
    floor (4315.5)     		tx = 4315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55316162109375 × 213)
    floor (0.55316162109375 × 8192)
    floor (4531.5)     		ty = 4531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4315 / 4531 ti = "13/4315/4531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4315/4531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4315 ÷ 213
    4315 ÷ 8192     		x = 0.5267333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4531 ÷ 213
    4531 ÷ 8192     		y = 0.5531005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5267333984375 × 2 - 1) × π
    0.053466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16797090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5531005859375 × 2 - 1) × π
    -0.106201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.333640821355591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16797090} λ = 0.16797090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.333640821355591))-π/2
    2×atan(0.716311019648362)-π/2
    2×0.621589282347722-π/2
    1.24317856469544-1.57079632675     		φ = -0.32761776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16797090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.624024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32761776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.771115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4315 KachelY 4531 0.16797090 -0.32761776 9.624024 -18.771115
    Oben rechts KachelX + 1 4316 KachelY 4531 0.16873789 -0.32761776 9.667969 -18.771115
    Unten links KachelX 4315 KachelY + 1 4532 0.16797090 -0.32834387 9.624024 -18.812718
    Unten rechts KachelX + 1 4316 KachelY + 1 4532 0.16873789 -0.32834387 9.667969 -18.812718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32761776--0.32834387) × R
    0.000726110000000002 × 6371000     		dl = 4626.04681000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32761776--0.32834387) × R
    0.000726110000000002 × 6371000     		dr = 4626.04681000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16797090-0.16873789) × cos(-0.32761776) × R
    0.000766989999999995 × 0.946811606636437 × 6371000     		do = 4626.58856272304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16797090-0.16873789) × cos(-0.32834387) × R
    0.000766989999999995 × 0.946577703277318 × 6371000     		du = 4625.4455955282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32761776)-sin(-0.32834387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946811606636437-0.946577703277318)×R²
    abs(0.16873789-0.16797090)×0.000233903359119214×R²
    0.000766989999999995×0.000233903359119214×6371000²
    0.000766989999999995×0.000233903359119214×40589641000000     		ar = 21400172.4921395m²