Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4313 / 4566
↖ ↑ ↗
← S 20.220966°
E  9.536133°		 ← 4 585.32 m → S 20.220966°
E  9.580078°		 →
↑
4 584.70 m
↓
↑
4 584.70 m
↓
S 20.262197°
E  9.536133°		 ← 4 584.11 m →
21 019 534 m²		 S 20.262197°
E  9.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52655029296875 y=0.55743408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52655029296875 × 213)
    floor (0.52655029296875 × 8192)
    floor (4313.5)     		tx = 4313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55743408203125 × 213)
    floor (0.55743408203125 × 8192)
    floor (4566.5)     		ty = 4566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4313 / 4566 ti = "13/4313/4566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4313/4566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4313 ÷ 213
    4313 ÷ 8192     		x = 0.5264892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4566 ÷ 213
    4566 ÷ 8192     		y = 0.557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5264892578125 × 2 - 1) × π
    0.052978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16643692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.11474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.360485485142822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16643692} λ = 0.16643692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.360485485142822))-π/2
    2×atan(0.697337696786619)-π/2
    2×0.6089369480094-π/2
    1.2178738960188-1.57079632675     		φ = -0.35292243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16643692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35292243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.220966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4313 KachelY 4566 0.16643692 -0.35292243 9.536133 -20.220966
    Oben rechts KachelX + 1 4314 KachelY 4566 0.16720391 -0.35292243 9.580078 -20.220966
    Unten links KachelX 4313 KachelY + 1 4567 0.16643692 -0.35364205 9.536133 -20.262197
    Unten rechts KachelX + 1 4314 KachelY + 1 4567 0.16720391 -0.35364205 9.580078 -20.262197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35292243--0.35364205) × R
    0.000719619999999976 × 6371000     		dl = 4584.69901999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35292243--0.35364205) × R
    0.000719619999999976 × 6371000     		dr = 4584.69901999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16643692-0.16720391) × cos(-0.35292243) × R
    0.000766990000000023 × 0.93836660803527 × 6371000     		do = 4585.32213372454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16643692-0.16720391) × cos(-0.35364205) × R
    0.000766990000000023 × 0.938117634487603 × 6371000     		du = 4584.10552615448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35292243)-sin(-0.35364205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93836660803527-0.938117634487603)×R²
    abs(0.16720391-0.16643692)×0.000248973547667397×R²
    0.000766990000000023×0.000248973547667397×6371000²
    0.000766990000000023×0.000248973547667397×40589641000000     		ar = 21019533.9101893m²