Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4313 / 4379
↖ ↑ ↗
← S 12.340002°
E  9.536133°		 ← 4 773.60 m → S 12.340002°
E  9.580078°		 →
↑
4 773.22 m
↓
↑
4 773.22 m
↓
S 12.382928°
E  9.536133°		 ← 4 772.81 m →
22 783 553 m²		 S 12.382928°
E  9.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52655029296875 y=0.53460693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52655029296875 × 213)
    floor (0.52655029296875 × 8192)
    floor (4313.5)     		tx = 4313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53460693359375 × 213)
    floor (0.53460693359375 × 8192)
    floor (4379.5)     		ty = 4379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4313 / 4379 ti = "13/4313/4379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4313/4379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4313 ÷ 213
    4313 ÷ 8192     		x = 0.5264892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4379 ÷ 213
    4379 ÷ 8192     		y = 0.5345458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5264892578125 × 2 - 1) × π
    0.052978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16643692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5345458984375 × 2 - 1) × π
    -0.069091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.217058281479614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16643692} λ = 0.16643692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.217058281479614))-π/2
    2×atan(0.804883058162443)-π/2
    2×0.677711332546744-π/2
    1.35542266509349-1.57079632675     		φ = -0.21537366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16643692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21537366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.340002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4313 KachelY 4379 0.16643692 -0.21537366 9.536133 -12.340002
    Oben rechts KachelX + 1 4314 KachelY 4379 0.16720391 -0.21537366 9.580078 -12.340002
    Unten links KachelX 4313 KachelY + 1 4380 0.16643692 -0.21612287 9.536133 -12.382928
    Unten rechts KachelX + 1 4314 KachelY + 1 4380 0.16720391 -0.21612287 9.580078 -12.382928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21537366--0.21612287) × R
    0.00074921 × 6371000     		dl = 4773.21691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21537366--0.21612287) × R
    0.00074921 × 6371000     		dr = 4773.21691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16643692-0.16720391) × cos(-0.21537366) × R
    0.000766990000000023 × 0.97689660660506 × 6371000     		do = 4773.59871319954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16643692-0.16720391) × cos(-0.21612287) × R
    0.000766990000000023 × 0.976736216926441 × 6371000     		du = 4772.81497011118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21537366)-sin(-0.21612287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97689660660506-0.976736216926441)×R²
    abs(0.16720391-0.16643692)×0.000160389678618866×R²
    0.000766990000000023×0.000160389678618866×6371000²
    0.000766990000000023×0.000160389678618866×40589641000000     		ar = 22783552.6772473m²