Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4313 / 3302
↖ ↑ ↗
← N 80.693342°
W132.615967°		 ← 197.56 m → N 80.693342°
W132.604980°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
N 80.691566°
W132.615967°		 ← 197.60 m →
39 035 m²		 N 80.691566°
W132.604980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131637573242188 y=0.100784301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131637573242188 × 215)
    floor (0.131637573242188 × 32768)
    floor (4313.5)     		tx = 4313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100784301757812 × 215)
    floor (0.100784301757812 × 32768)
    floor (3302.5)     		ty = 3302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4313 / 3302 ti = "15/4313/3302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4313/3302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4313 ÷ 215
    4313 ÷ 32768     		x = 0.131622314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3302 ÷ 215
    3302 ÷ 32768     		y = 0.10076904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131622314453125 × 2 - 1) × π
    -0.73675537109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.31458526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10076904296875 × 2 - 1) × π
    0.7984619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5084420833183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31458526} λ = -2.31458526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5084420833183))-π/2
    2×atan(12.2857749296252)-π/2
    2×1.48958041947607-π/2
    2.97916083895214-1.57079632675     		φ = 1.40836451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31458526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.615967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40836451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.693342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4313 KachelY 3302 -2.31458526 1.40836451 -132.615967 80.693342
    Oben rechts KachelX + 1 4314 KachelY 3302 -2.31439351 1.40836451 -132.604980 80.693342
    Unten links KachelX 4313 KachelY + 1 3303 -2.31458526 1.40833350 -132.615967 80.691566
    Unten rechts KachelX + 1 4314 KachelY + 1 3303 -2.31439351 1.40833350 -132.604980 80.691566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40836451-1.40833350) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dl = 197.564710000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40836451-1.40833350) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dr = 197.564710000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31458526--2.31439351) × cos(1.40836451) × R
    0.000191749999999935 × 0.161718489053672 × 6371000     		do = 197.561653678594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31458526--2.31439351) × cos(1.40833350) × R
    0.000191749999999935 × 0.161749090789171 × 6371000     		du = 197.599037959798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40836451)-sin(1.40833350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161718489053672-0.161749090789171)×R²
    abs(-2.31439351--2.31458526)×3.06017354996524e-05×R²
    0.000191749999999935×3.06017354996524e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.06017354996524e-05×40589641000000     		ar = 39034.9037267812m²