Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4312 / 4534
↖ ↑ ↗
← S 18.895893°
E  9.492188°		 ← 4 623.15 m → S 18.895893°
E  9.536133°		 →
↑
4 622.61 m
↓
↑
4 622.61 m
↓
S 18.937465°
E  9.492188°		 ← 4 622 m →
21 368 362 m²		 S 18.937465°
E  9.536133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52642822265625 y=0.55352783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52642822265625 × 213)
    floor (0.52642822265625 × 8192)
    floor (4312.5)     		tx = 4312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55352783203125 × 213)
    floor (0.55352783203125 × 8192)
    floor (4534.5)     		ty = 4534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4312 / 4534 ti = "13/4312/4534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4312/4534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4312 ÷ 213
    4312 ÷ 8192     		x = 0.5263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4534 ÷ 213
    4534 ÷ 8192     		y = 0.553466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5263671875 × 2 - 1) × π
    0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553466796875 × 2 - 1) × π
    -0.10693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.335941792537354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16566993} λ = 0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.335941792537354))-π/2
    2×atan(0.714664703424429)-π/2
    2×0.620500393269545-π/2
    1.24100078653909-1.57079632675     		φ = -0.32979554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32979554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.895893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4312 KachelY 4534 0.16566993 -0.32979554 9.492188 -18.895893
    Oben rechts KachelX + 1 4313 KachelY 4534 0.16643692 -0.32979554 9.536133 -18.895893
    Unten links KachelX 4312 KachelY + 1 4535 0.16566993 -0.33052111 9.492188 -18.937465
    Unten rechts KachelX + 1 4313 KachelY + 1 4535 0.16643692 -0.33052111 9.536133 -18.937465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32979554--0.33052111) × R
    0.000725570000000009 × 6371000     		dl = 4622.60647000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32979554--0.33052111) × R
    0.000725570000000009 × 6371000     		dr = 4622.60647000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16566993-0.16643692) × cos(-0.32979554) × R
    0.000766989999999995 × 0.946108577591385 × 6371000     		do = 4623.15321601172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16566993-0.16643692) × cos(-0.33052111) × R
    0.000766989999999995 × 0.945873353021942 × 6371000     		du = 4622.00379273149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32979554)-sin(-0.33052111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946108577591385-0.945873353021942)×R²
    abs(0.16643692-0.16566993)×0.000235224569442916×R²
    0.000766989999999995×0.000235224569442916×6371000²
    0.000766989999999995×0.000235224569442916×40589641000000     		ar = 21368362.2398429m²