Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4312 / 4046
↖ ↑ ↗
← N  2.196727°
E  9.492188°		 ← 4 882.90 m → N  2.196727°
E  9.536133°		 →
↑
4 882.93 m
↓
↑
4 882.93 m
↓
N  2.152814°
E  9.492188°		 ← 4 883.04 m →
23 843 196 m²		 N  2.152814°
E  9.536133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52642822265625 y=0.49395751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52642822265625 × 213)
    floor (0.52642822265625 × 8192)
    floor (4312.5)     		tx = 4312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49395751953125 × 213)
    floor (0.49395751953125 × 8192)
    floor (4046.5)     		ty = 4046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4312 / 4046 ti = "13/4312/4046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4312/4046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4312 ÷ 213
    4312 ÷ 8192     		x = 0.5263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4046 ÷ 213
    4046 ÷ 8192     		y = 0.493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5263671875 × 2 - 1) × π
    0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.493896484375 × 2 - 1) × π
    0.01220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0383495196960449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16566993} λ = 0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0383495196960449))-π/2
    2×atan(1.03909435335847)-π/2
    2×0.804568224965398-π/2
    1.6091364499308-1.57079632675     		φ = 0.03834012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03834012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.196727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4312 KachelY 4046 0.16566993 0.03834012 9.492188 2.196727
    Oben rechts KachelX + 1 4313 KachelY 4046 0.16643692 0.03834012 9.536133 2.196727
    Unten links KachelX 4312 KachelY + 1 4047 0.16566993 0.03757369 9.492188 2.152814
    Unten rechts KachelX + 1 4313 KachelY + 1 4047 0.16643692 0.03757369 9.536133 2.152814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03834012-0.03757369) × R
    0.000766429999999999 × 6371000     		dl = 4882.92552999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03834012-0.03757369) × R
    0.000766429999999999 × 6371000     		dr = 4882.92552999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16566993-0.16643692) × cos(0.03834012) × R
    0.000766989999999995 × 0.99926510762797 × 6371000     		do = 4882.90224335517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16566993-0.16643692) × cos(0.03757369) × R
    0.000766989999999995 × 0.999294191953022 × 6371000     		du = 4883.04436371439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03834012)-sin(0.03757369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99926510762797-0.999294191953022)×R²
    abs(0.16643692-0.16566993)×2.9084325052775e-05×R²
    0.000766989999999995×2.9084325052775e-05×6371000²
    0.000766989999999995×2.9084325052775e-05×40589641000000     		ar = 23843196.1732926m²