Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4312 / 1976
↖ ↑ ↗
← N 82.776432°
W132.626953°		 ← 153.61 m → N 82.776432°
W132.615967°		 →
↑
153.60 m
↓
↑
153.60 m
↓
N 82.775051°
W132.626953°		 ← 153.64 m →
23 598 m²		 N 82.775051°
W132.615967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131607055664062 y=0.0603179931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131607055664062 × 215)
    floor (0.131607055664062 × 32768)
    floor (4312.5)     		tx = 4312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0603179931640625 × 215)
    floor (0.0603179931640625 × 32768)
    floor (1976.5)     		ty = 1976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4312 / 1976 ti = "15/4312/1976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4312/1976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4312 ÷ 215
    4312 ÷ 32768     		x = 0.131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1976 ÷ 215
    1976 ÷ 32768     		y = 0.060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.73681640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.31477701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.060302734375 × 2 - 1) × π
    0.87939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.76269939890308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31477701} λ = -2.31477701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76269939890308))-π/2
    2×atan(15.8425506436033)-π/2
    2×1.50775880870805-π/2
    3.01551761741611-1.57079632675     		φ = 1.44472129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31477701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.626953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44472129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.776432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4312 KachelY 1976 -2.31477701 1.44472129 -132.626953 82.776432
    Oben rechts KachelX + 1 4313 KachelY 1976 -2.31458526 1.44472129 -132.615967 82.776432
    Unten links KachelX 4312 KachelY + 1 1977 -2.31477701 1.44469718 -132.626953 82.775051
    Unten rechts KachelX + 1 4313 KachelY + 1 1977 -2.31458526 1.44469718 -132.615967 82.775051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44472129-1.44469718) × R
    2.41100000000216e-05 × 6371000     		dl = 153.604810000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44472129-1.44469718) × R
    2.41100000000216e-05 × 6371000     		dr = 153.604810000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31477701--2.31458526) × cos(1.44472129) × R
    0.000191749999999935 × 0.125741310136311 × 6371000     		do = 153.610519808888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31477701--2.31458526) × cos(1.44469718) × R
    0.000191749999999935 × 0.125765228740235 × 6371000     		du = 153.639739714247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44472129)-sin(1.44469718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125741310136311-0.125765228740235)×R²
    abs(-2.31458526--2.31477701)×2.39186039242001e-05×R²
    0.000191749999999935×2.39186039242001e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.39186039242001e-05×40589641000000     		ar = 23597.5588696335m²