Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4311 / 4371
↖ ↑ ↗
← S 11.996338°
E  9.448242°		 ← 4 779.84 m → S 11.996338°
E  9.492188°		 →
↑
4 779.40 m
↓
↑
4 779.40 m
↓
S 12.039320°
E  9.448242°		 ← 4 779.08 m →
22 842 924 m²		 S 12.039320°
E  9.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52630615234375 y=0.53363037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52630615234375 × 213)
    floor (0.52630615234375 × 8192)
    floor (4311.5)     		tx = 4311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53363037109375 × 213)
    floor (0.53363037109375 × 8192)
    floor (4371.5)     		ty = 4371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4311 / 4371 ti = "13/4311/4371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4311/4371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4311 ÷ 213
    4311 ÷ 8192     		x = 0.5262451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4371 ÷ 213
    4371 ÷ 8192     		y = 0.5335693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5262451171875 × 2 - 1) × π
    0.052490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16490293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5335693359375 × 2 - 1) × π
    -0.067138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.210922358328247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16490293} λ = 0.16490293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.210922358328247))-π/2
    2×atan(0.809836941534386)-π/2
    2×0.680710361751786-π/2
    1.36142072350357-1.57079632675     		φ = -0.20937560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16490293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20937560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.996338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4311 KachelY 4371 0.16490293 -0.20937560 9.448242 -11.996338
    Oben rechts KachelX + 1 4312 KachelY 4371 0.16566993 -0.20937560 9.492188 -11.996338
    Unten links KachelX 4311 KachelY + 1 4372 0.16490293 -0.21012578 9.448242 -12.039320
    Unten rechts KachelX + 1 4312 KachelY + 1 4372 0.16566993 -0.21012578 9.492188 -12.039320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20937560--0.21012578) × R
    0.000750180000000017 × 6371000     		dl = 4779.39678000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20937560--0.21012578) × R
    0.000750180000000017 × 6371000     		dr = 4779.39678000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16490293-0.16566993) × cos(-0.20937560) × R
    0.00076699999999999 × 0.978160886422083 × 6371000     		do = 4779.83892667197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16490293-0.16566993) × cos(-0.21012578) × R
    0.00076699999999999 × 0.978004686901493 × 6371000     		du = 4779.07564881123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20937560)-sin(-0.21012578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978160886422083-0.978004686901493)×R²
    abs(0.16566993-0.16490293)×0.000156199520590317×R²
    0.00076699999999999×0.000156199520590317×6371000²
    0.00076699999999999×0.000156199520590317×40589641000000     		ar = 22842923.8424562m²