Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4308 / 4380
↖ ↑ ↗
← S 12.382928°
E  9.316406°		 ← 4 772.81 m → S 12.382928°
E  9.360351°		 →
↑
4 772.45 m
↓
↑
4 772.45 m
↓
S 12.425848°
E  9.316406°		 ← 4 772.03 m →
22 776 157 m²		 S 12.425848°
E  9.360351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52593994140625 y=0.53472900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52593994140625 × 213)
    floor (0.52593994140625 × 8192)
    floor (4308.5)     		tx = 4308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53472900390625 × 213)
    floor (0.53472900390625 × 8192)
    floor (4380.5)     		ty = 4380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4308 / 4380 ti = "13/4308/4380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4308/4380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4308 ÷ 213
    4308 ÷ 8192     		x = 0.52587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4380 ÷ 213
    4380 ÷ 8192     		y = 0.53466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52587890625 × 2 - 1) × π
    0.0517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16260196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53466796875 × 2 - 1) × π
    -0.0693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.217825271873535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16260196} λ = 0.16260196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.217825271873535))-π/2
    2×atan(0.804265957274082)-π/2
    2×0.677336728127931-π/2
    1.35467345625586-1.57079632675     		φ = -0.21612287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16260196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21612287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.382928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4308 KachelY 4380 0.16260196 -0.21612287 9.316406 -12.382928
    Oben rechts KachelX + 1 4309 KachelY 4380 0.16336895 -0.21612287 9.360351 -12.382928
    Unten links KachelX 4308 KachelY + 1 4381 0.16260196 -0.21687196 9.316406 -12.425848
    Unten rechts KachelX + 1 4309 KachelY + 1 4381 0.16336895 -0.21687196 9.360351 -12.425848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21612287--0.21687196) × R
    0.000749090000000008 × 6371000     		dl = 4772.45239000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21612287--0.21687196) × R
    0.000749090000000008 × 6371000     		dr = 4772.45239000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16260196-0.16336895) × cos(-0.21612287) × R
    0.000766990000000023 × 0.976736216926441 × 6371000     		do = 4772.81497011118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16260196-0.16336895) × cos(-0.21687196) × R
    0.000766990000000023 × 0.976575304811666 × 6371000     		du = 4772.02867414205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21612287)-sin(-0.21687196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976736216926441-0.976575304811666)×R²
    abs(0.16336895-0.16260196)×0.000160912114775646×R²
    0.000766990000000023×0.000160912114775646×6371000²
    0.000766990000000023×0.000160912114775646×40589641000000     		ar = 22776156.9961393m²