Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4308 / 2806
↖ ↑ ↗
← N 75.552081°
W 85.341797°		 ← 609.58 m → N 75.552081°
W 85.319824°		 →
↑
609.70 m
↓
↑
609.70 m
↓
N 75.546598°
W 85.341797°		 ← 609.81 m →
371 734 m²		 N 75.546598°
W 85.319824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.262969970703125 y=0.171295166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.262969970703125 × 214)
    floor (0.262969970703125 × 16384)
    floor (4308.5)     		tx = 4308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171295166015625 × 214)
    floor (0.171295166015625 × 16384)
    floor (2806.5)     		ty = 2806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4308 / 2806 ti = "14/4308/2806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4308/2806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4308 ÷ 214
    4308 ÷ 16384     		x = 0.262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2806 ÷ 214
    2806 ÷ 16384     		y = 0.1712646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.262939453125 × 2 - 1) × π
    -0.47412109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.48949534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1712646484375 × 2 - 1) × π
    0.657470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06550513082898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48949534} λ = -1.48949534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06550513082898))-π/2
    2×atan(7.88928201088319)-π/2
    2×1.44471444830975-π/2
    2.8894288966195-1.57079632675     		φ = 1.31863257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48949534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.341797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31863257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.552081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4308 KachelY 2806 -1.48949534 1.31863257 -85.341797 75.552081
    Oben rechts KachelX + 1 4309 KachelY 2806 -1.48911185 1.31863257 -85.319824 75.552081
    Unten links KachelX 4308 KachelY + 1 2807 -1.48949534 1.31853687 -85.341797 75.546598
    Unten rechts KachelX + 1 4309 KachelY + 1 2807 -1.48911185 1.31853687 -85.319824 75.546598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31863257-1.31853687) × R
    9.56999999999208e-05 × 6371000     		dl = 609.704699999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31863257-1.31853687) × R
    9.56999999999208e-05 × 6371000     		dr = 609.704699999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48949534--1.48911185) × cos(1.31863257) × R
    0.000383489999999931 × 0.249499869301673 × 6371000     		do = 609.581770780805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48949534--1.48911185) × cos(1.31853687) × R
    0.000383489999999931 × 0.249592541630432 × 6371000     		du = 609.808189185051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31863257)-sin(1.31853687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249499869301673-0.249592541630432)×R²
    abs(-1.48911185--1.48949534)×9.26723287582309e-05×R²
    0.000383489999999931×9.26723287582309e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.26723287582309e-05×40589641000000     		ar = 371733.895144775m²