Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4307 / 4055
↖ ↑ ↗
← N  1.801461°
E  9.272461°		 ← 4 884.08 m → N  1.801461°
E  9.316406°		 →
↑
4 884.14 m
↓
↑
4 884.14 m
↓
N  1.757537°
E  9.272461°		 ← 4 884.19 m →
23 854 787 m²		 N  1.757537°
E  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52581787109375 y=0.49505615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52581787109375 × 213)
    floor (0.52581787109375 × 8192)
    floor (4307.5)     		tx = 4307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49505615234375 × 213)
    floor (0.49505615234375 × 8192)
    floor (4055.5)     		ty = 4055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4307 / 4055 ti = "13/4307/4055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4307/4055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4307 ÷ 213
    4307 ÷ 8192     		x = 0.5257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4055 ÷ 213
    4055 ÷ 8192     		y = 0.4949951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5257568359375 × 2 - 1) × π
    0.051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16183497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4949951171875 × 2 - 1) × π
    0.010009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0314466061507568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16183497} λ = 0.16183497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0314466061507568))-π/2
    2×atan(1.03194627454082)-π/2
    2×0.801118875679626-π/2
    1.60223775135925-1.57079632675     		φ = 0.03144142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16183497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.272461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03144142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.801461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4307 KachelY 4055 0.16183497 0.03144142 9.272461 1.801461
    Oben rechts KachelX + 1 4308 KachelY 4055 0.16260196 0.03144142 9.316406 1.801461
    Unten links KachelX 4307 KachelY + 1 4056 0.16183497 0.03067480 9.272461 1.757537
    Unten rechts KachelX + 1 4308 KachelY + 1 4056 0.16260196 0.03067480 9.316406 1.757537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03144142-0.03067480) × R
    0.000766619999999999 × 6371000     		dl = 4884.13601999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03144142-0.03067480) × R
    0.000766619999999999 × 6371000     		dr = 4884.13601999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16183497-0.16260196) × cos(0.03144142) × R
    0.000766989999999995 × 0.999505759271875 × 6371000     		do = 4884.07818599834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16183497-0.16260196) × cos(0.03067480) × R
    0.000766989999999995 × 0.999529565211923 × 6371000     		du = 4884.19451356465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03144142)-sin(0.03067480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999505759271875-0.999529565211923)×R²
    abs(0.16260196-0.16183497)×2.38059400481383e-05×R²
    0.000766989999999995×2.38059400481383e-05×6371000²
    0.000766989999999995×2.38059400481383e-05×40589641000000     		ar = 23854787.4408596m²