Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4307 / 3791
↖ ↑ ↗
← N 79.783113°
W132.681885°		 ← 216.69 m → N 79.783113°
W132.670898°		 →
↑
216.68 m
↓
↑
216.68 m
↓
N 79.781164°
W132.681885°		 ← 216.73 m →
46 956 m²		 N 79.781164°
W132.670898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131454467773438 y=0.115707397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131454467773438 × 215)
    floor (0.131454467773438 × 32768)
    floor (4307.5)     		tx = 4307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115707397460938 × 215)
    floor (0.115707397460938 × 32768)
    floor (3791.5)     		ty = 3791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4307 / 3791 ti = "15/4307/3791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4307/3791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4307 ÷ 215
    4307 ÷ 32768     		x = 0.131439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3791 ÷ 215
    3791 ÷ 32768     		y = 0.115692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.73712158203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31573575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115692138671875 × 2 - 1) × π
    0.76861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41467750766147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31573575} λ = -2.31573575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41467750766147))-π/2
    2×atan(11.1861623241553)-π/2
    2×1.48163716920048-π/2
    2.96327433840096-1.57079632675     		φ = 1.39247801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31573575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.681885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39247801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.783113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4307 KachelY 3791 -2.31573575 1.39247801 -132.681885 79.783113
    Oben rechts KachelX + 1 4308 KachelY 3791 -2.31554400 1.39247801 -132.670898 79.783113
    Unten links KachelX 4307 KachelY + 1 3792 -2.31573575 1.39244400 -132.681885 79.781164
    Unten rechts KachelX + 1 4308 KachelY + 1 3792 -2.31554400 1.39244400 -132.670898 79.781164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39247801-1.39244400) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dl = 216.677710000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39247801-1.39244400) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dr = 216.677710000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31573575--2.31554400) × cos(1.39247801) × R
    0.000191749999999935 × 0.177374807638074 × 6371000     		do = 216.688026971797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31573575--2.31554400) × cos(1.39244400) × R
    0.000191749999999935 × 0.177408278251583 × 6371000     		du = 216.728915986981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39247801)-sin(1.39244400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177374807638074-0.177408278251583)×R²
    abs(-2.31554400--2.31573575)×3.34706135089735e-05×R²
    0.000191749999999935×3.34706135089735e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.34706135089735e-05×40589641000000     		ar = 46955.8953423561m²