Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4307 / 1229
↖ ↑ ↗
← N 82.079117°
W 85.363770°		 ← 336.70 m → N 82.079117°
W 85.341797°		 →
↑
336.71 m
↓
↑
336.71 m
↓
N 82.076089°
W 85.363770°		 ← 336.83 m →
113 390 m²		 N 82.076089°
W 85.341797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.262908935546875 y=0.075042724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.262908935546875 × 214)
    floor (0.262908935546875 × 16384)
    floor (4307.5)     		tx = 4307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.075042724609375 × 214)
    floor (0.075042724609375 × 16384)
    floor (1229.5)     		ty = 1229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4307 / 1229 ti = "14/4307/1229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4307/1229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4307 ÷ 214
    4307 ÷ 16384     		x = 0.26287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1229 ÷ 214
    1229 ÷ 16384     		y = 0.07501220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.4742431640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.48987884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07501220703125 × 2 - 1) × π
    0.8499755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.67027705643561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48987884} λ = -1.48987884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67027705643561))-π/2
    2×atan(14.4439704334569)-π/2
    2×1.50167358482387-π/2
    3.00334716964774-1.57079632675     		φ = 1.43255084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48987884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.363770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43255084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.079117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4307 KachelY 1229 -1.48987884 1.43255084 -85.363770 82.079117
    Oben rechts KachelX + 1 4308 KachelY 1229 -1.48949534 1.43255084 -85.341797 82.079117
    Unten links KachelX 4307 KachelY + 1 1230 -1.48987884 1.43249799 -85.363770 82.076089
    Unten rechts KachelX + 1 4308 KachelY + 1 1230 -1.48949534 1.43249799 -85.341797 82.076089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43255084-1.43249799) × R
    5.28499999998822e-05 × 6371000     		dl = 336.707349999249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43255084-1.43249799) × R
    5.28499999998822e-05 × 6371000     		dr = 336.707349999249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48987884--1.48949534) × cos(1.43255084) × R
    0.000383500000000092 × 0.13780555371544 × 6371000     		do = 336.697346573611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48987884--1.48949534) × cos(1.43249799) × R
    0.000383500000000092 × 0.137857899297085 × 6371000     		du = 336.825241407813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43255084)-sin(1.43249799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13780555371544-0.137857899297085)×R²
    abs(-1.48949534--1.48987884)×5.2345581644242e-05×R²
    0.000383500000000092×5.2345581644242e-05×6371000²
    0.000383500000000092×5.2345581644242e-05×40589641000000     		ar = 113390.002907235m²