Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4306 / 4525
↖ ↑ ↗
← S 18.521284°
E  9.228515°		 ← 4 633.40 m → S 18.521284°
E  9.272461°		 →
↑
4 632.80 m
↓
↑
4 632.80 m
↓
S 18.562947°
E  9.228515°		 ← 4 632.27 m →
21 463 003 m²		 S 18.562947°
E  9.272461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52569580078125 y=0.55242919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52569580078125 × 213)
    floor (0.52569580078125 × 8192)
    floor (4306.5)     		tx = 4306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55242919921875 × 213)
    floor (0.55242919921875 × 8192)
    floor (4525.5)     		ty = 4525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4306 / 4525 ti = "13/4306/4525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4306/4525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4306 ÷ 213
    4306 ÷ 8192     		x = 0.525634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4525 ÷ 213
    4525 ÷ 8192     		y = 0.5523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525634765625 × 2 - 1) × π
    0.05126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16106798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5523681640625 × 2 - 1) × π
    -0.104736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.329038878992065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16106798} λ = 0.16106798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.329038878992065))-π/2
    2×atan(0.719615038295828)-π/2
    2×0.62376947553959-π/2
    1.24753895107918-1.57079632675     		φ = -0.32325738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16106798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.228515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32325738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.521284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4306 KachelY 4525 0.16106798 -0.32325738 9.228515 -18.521284
    Oben rechts KachelX + 1 4307 KachelY 4525 0.16183497 -0.32325738 9.272461 -18.521284
    Unten links KachelX 4306 KachelY + 1 4526 0.16106798 -0.32398455 9.228515 -18.562947
    Unten rechts KachelX + 1 4307 KachelY + 1 4526 0.16183497 -0.32398455 9.272461 -18.562947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32325738--0.32398455) × R
    0.000727169999999999 × 6371000     		dl = 4632.80006999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32325738--0.32398455) × R
    0.000727169999999999 × 6371000     		dr = 4632.80006999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16106798-0.16183497) × cos(-0.32325738) × R
    0.000766989999999995 × 0.948205721132895 × 6371000     		do = 4633.40089385547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16106798-0.16183497) × cos(-0.32398455) × R
    0.000766989999999995 × 0.947974479886063 × 6371000     		du = 4632.27093505446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32325738)-sin(-0.32398455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948205721132895-0.947974479886063)×R²
    abs(0.16183497-0.16106798)×0.000231241246832159×R²
    0.000766989999999995×0.000231241246832159×6371000²
    0.000766989999999995×0.000231241246832159×40589641000000     		ar = 21463003.4945471m²