Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4306 / 4045
↖ ↑ ↗
← N  2.240640°
E  9.228515°		 ← 4 882.76 m → N  2.240640°
E  9.272461°		 →
↑
4 882.86 m
↓
↑
4 882.86 m
↓
N  2.196727°
E  9.228515°		 ← 4 882.90 m →
23 842 184 m²		 N  2.196727°
E  9.272461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52569580078125 y=0.49383544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52569580078125 × 213)
    floor (0.52569580078125 × 8192)
    floor (4306.5)     		tx = 4306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49383544921875 × 213)
    floor (0.49383544921875 × 8192)
    floor (4045.5)     		ty = 4045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4306 / 4045 ti = "13/4306/4045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4306/4045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4306 ÷ 213
    4306 ÷ 8192     		x = 0.525634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4045 ÷ 213
    4045 ÷ 8192     		y = 0.4937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525634765625 × 2 - 1) × π
    0.05126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16106798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4937744140625 × 2 - 1) × π
    0.012451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0391165100899658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16106798} λ = 0.16106798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0391165100899658))-π/2
    2×atan(1.03989163446026)-π/2
    2×0.804951432664054-π/2
    1.60990286532811-1.57079632675     		φ = 0.03910654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16106798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.228515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03910654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.240640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4306 KachelY 4045 0.16106798 0.03910654 9.228515 2.240640
    Oben rechts KachelX + 1 4307 KachelY 4045 0.16183497 0.03910654 9.272461 2.240640
    Unten links KachelX 4306 KachelY + 1 4046 0.16106798 0.03834012 9.228515 2.196727
    Unten rechts KachelX + 1 4307 KachelY + 1 4046 0.16183497 0.03834012 9.272461 2.196727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03910654-0.03834012) × R
    0.000766420000000004 × 6371000     		dl = 4882.86182000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03910654-0.03834012) × R
    0.000766420000000004 × 6371000     		dr = 4882.86182000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16106798-0.16183497) × cos(0.03910654) × R
    0.000766989999999995 × 0.999235436710653 × 6371000     		do = 4882.7572566168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16106798-0.16183497) × cos(0.03834012) × R
    0.000766989999999995 × 0.99926510762797 × 6371000     		du = 4882.90224335517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03910654)-sin(0.03834012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999235436710653-0.99926510762797)×R²
    abs(0.16183497-0.16106798)×2.96709173163157e-05×R²
    0.000766989999999995×2.96709173163157e-05×6371000²
    0.000766989999999995×2.96709173163157e-05×40589641000000     		ar = 23842184.1268409m²