Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4306 / 3790
↖ ↑ ↗
← N 79.785062°
W132.692871°		 ← 216.64 m → N 79.785062°
W132.681885°		 →
↑
216.68 m
↓
↑
216.68 m
↓
N 79.783113°
W132.692871°		 ← 216.68 m →
46 945 m²		 N 79.783113°
W132.681885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131423950195312 y=0.115676879882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131423950195312 × 215)
    floor (0.131423950195312 × 32768)
    floor (4306.5)     		tx = 4306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115676879882812 × 215)
    floor (0.115676879882812 × 32768)
    floor (3790.5)     		ty = 3790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4306 / 3790 ti = "15/4306/3790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4306/3790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4306 ÷ 215
    4306 ÷ 32768     		x = 0.13140869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3790 ÷ 215
    3790 ÷ 32768     		y = 0.11566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13140869140625 × 2 - 1) × π
    -0.7371826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31592749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11566162109375 × 2 - 1) × π
    0.7686767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41486925525995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31592749} λ = -2.31592749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41486925525995))-π/2
    2×atan(11.1883074495719)-π/2
    2×1.48165417319258-π/2
    2.96330834638517-1.57079632675     		φ = 1.39251202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31592749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.692871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39251202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.785062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4306 KachelY 3790 -2.31592749 1.39251202 -132.692871 79.785062
    Oben rechts KachelX + 1 4307 KachelY 3790 -2.31573575 1.39251202 -132.681885 79.785062
    Unten links KachelX 4306 KachelY + 1 3791 -2.31592749 1.39247801 -132.692871 79.783113
    Unten rechts KachelX + 1 4307 KachelY + 1 3791 -2.31573575 1.39247801 -132.681885 79.783113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39251202-1.39247801) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dl = 216.677710000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39251202-1.39247801) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dr = 216.677710000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31592749--2.31573575) × cos(1.39251202) × R
    0.000191739999999996 × 0.177341336819399 × 6371000     		do = 216.635839289474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31592749--2.31573575) × cos(1.39247801) × R
    0.000191739999999996 × 0.177374807638074 × 6371000     		du = 216.676726422871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39251202)-sin(1.39247801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177341336819399-0.177374807638074)×R²
    abs(-2.31573575--2.31592749)×3.34708186749133e-05×R²
    0.000191739999999996×3.34708186749133e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.34708186749133e-05×40589641000000     		ar = 46944.587230714m²