Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4305 / 4049
↖ ↑ ↗
← N  2.064982°
E  9.184570°		 ← 4 883.32 m → N  2.064982°
E  9.228515°		 →
↑
4 883.37 m
↓
↑
4 883.37 m
↓
N  2.021065°
E  9.184570°		 ← 4 883.45 m →
23 847 393 m²		 N  2.021065°
E  9.228515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52557373046875 y=0.49432373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52557373046875 × 213)
    floor (0.52557373046875 × 8192)
    floor (4305.5)     		tx = 4305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49432373046875 × 213)
    floor (0.49432373046875 × 8192)
    floor (4049.5)     		ty = 4049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4305 / 4049 ti = "13/4305/4049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4305/4049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4305 ÷ 213
    4305 ÷ 8192     		x = 0.5255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4049 ÷ 213
    4049 ÷ 8192     		y = 0.4942626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5255126953125 × 2 - 1) × π
    0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4942626953125 × 2 - 1) × π
    0.011474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0360485485142822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16030099} λ = 0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0360485485142822))-π/2
    2×atan(1.03670617581379)-π/2
    2×0.803418535171399-π/2
    1.6068370703428-1.57079632675     		φ = 0.03604074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03604074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.064982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4305 KachelY 4049 0.16030099 0.03604074 9.184570 2.064982
    Oben rechts KachelX + 1 4306 KachelY 4049 0.16106798 0.03604074 9.228515 2.064982
    Unten links KachelX 4305 KachelY + 1 4050 0.16030099 0.03527424 9.184570 2.021065
    Unten rechts KachelX + 1 4306 KachelY + 1 4050 0.16106798 0.03527424 9.228515 2.021065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03604074-0.03527424) × R
    0.000766500000000003 × 6371000     		dl = 4883.37150000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03604074-0.03527424) × R
    0.000766500000000003 × 6371000     		dr = 4883.37150000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16030099-0.16106798) × cos(0.03604074) × R
    0.000766989999999995 × 0.999350602828415 × 6371000     		do = 4883.32001507847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16030099-0.16106798) × cos(0.03527424) × R
    0.000766989999999995 × 0.999377928502404 × 6371000     		du = 4883.45354180106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03604074)-sin(0.03527424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999350602828415-0.999377928502404)×R²
    abs(0.16106798-0.16030099)×2.73256739887762e-05×R²
    0.000766989999999995×2.73256739887762e-05×6371000²
    0.000766989999999995×2.73256739887762e-05×40589641000000     		ar = 23847392.9848826m²