Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4305 / 4043
↖ ↑ ↗
← N  2.328460°
E  9.184570°		 ← 4 882.46 m → N  2.328460°
E  9.228515°		 →
↑
4 882.54 m
↓
↑
4 882.54 m
↓
N  2.284551°
E  9.184570°		 ← 4 882.61 m →
23 839 185 m²		 N  2.284551°
E  9.228515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52557373046875 y=0.49359130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52557373046875 × 213)
    floor (0.52557373046875 × 8192)
    floor (4305.5)     		tx = 4305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49359130859375 × 213)
    floor (0.49359130859375 × 8192)
    floor (4043.5)     		ty = 4043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4305 / 4043 ti = "13/4305/4043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4305/4043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4305 ÷ 213
    4305 ÷ 8192     		x = 0.5255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4043 ÷ 213
    4043 ÷ 8192     		y = 0.4935302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5255126953125 × 2 - 1) × π
    0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4935302734375 × 2 - 1) × π
    0.012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0406504908778076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16030099} λ = 0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0406504908778076))-π/2
    2×atan(1.04148803235777)-π/2
    2×0.805717813363769-π/2
    1.61143562672754-1.57079632675     		φ = 0.04063930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04063930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.328460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4305 KachelY 4043 0.16030099 0.04063930 9.184570 2.328460
    Oben rechts KachelX + 1 4306 KachelY 4043 0.16106798 0.04063930 9.228515 2.328460
    Unten links KachelX 4305 KachelY + 1 4044 0.16030099 0.03987293 9.184570 2.284551
    Unten rechts KachelX + 1 4306 KachelY + 1 4044 0.16106798 0.03987293 9.228515 2.284551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04063930-0.03987293) × R
    0.000766370000000002 × 6371000     		dl = 4882.54327000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04063930-0.03987293) × R
    0.000766370000000002 × 6371000     		dr = 4882.54327000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16030099-0.16106798) × cos(0.04063930) × R
    0.000766989999999995 × 0.999174337292596 × 6371000     		do = 4882.45869472044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16030099-0.16106798) × cos(0.03987293) × R
    0.000766989999999995 × 0.999205180038725 × 6371000     		du = 4882.60940759244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04063930)-sin(0.03987293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999174337292596-0.999205180038725)×R²
    abs(0.16106798-0.16030099)×3.08427461289673e-05×R²
    0.000766989999999995×3.08427461289673e-05×6371000²
    0.000766989999999995×3.08427461289673e-05×40589641000000     		ar = 23839184.9387949m²