Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4304 / 4562
↖ ↑ ↗
← S 20.055932°
E  9.140625°		 ← 4 590.17 m → S 20.055932°
E  9.184570°		 →
↑
4 589.54 m
↓
↑
4 589.54 m
↓
S 20.097206°
E  9.140625°		 ← 4 588.96 m →
21 063 992 m²		 S 20.097206°
E  9.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52545166015625 y=0.55694580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52545166015625 × 213)
    floor (0.52545166015625 × 8192)
    floor (4304.5)     		tx = 4304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55694580078125 × 213)
    floor (0.55694580078125 × 8192)
    floor (4562.5)     		ty = 4562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4304 / 4562 ti = "13/4304/4562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4304/4562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4304 ÷ 213
    4304 ÷ 8192     		x = 0.525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4562 ÷ 213
    4562 ÷ 8192     		y = 0.556884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525390625 × 2 - 1) × π
    0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.11376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.357417523567139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15953400} λ = 0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357417523567139))-π/2
    2×atan(0.699480387210929)-π/2
    2×0.610377145836589-π/2
    1.22075429167318-1.57079632675     		φ = -0.35004204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35004204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.055932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4304 KachelY 4562 0.15953400 -0.35004204 9.140625 -20.055932
    Oben rechts KachelX + 1 4305 KachelY 4562 0.16030099 -0.35004204 9.184570 -20.055932
    Unten links KachelX 4304 KachelY + 1 4563 0.15953400 -0.35076242 9.140625 -20.097206
    Unten rechts KachelX + 1 4305 KachelY + 1 4563 0.16030099 -0.35076242 9.184570 -20.097206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35004204--0.35076242) × R
    0.00072038000000002 × 6371000     		dl = 4589.54098000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35004204--0.35076242) × R
    0.00072038000000002 × 6371000     		dr = 4589.54098000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15953400-0.16030099) × cos(-0.35004204) × R
    0.000766989999999995 × 0.939358296593452 × 6371000     		do = 4590.1680132097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15953400-0.16030099) × cos(-0.35076242) × R
    0.000766989999999995 × 0.939111007705075 × 6371000     		du = 4588.95963771596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35004204)-sin(-0.35076242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939358296593452-0.939111007705075)×R²
    abs(0.16030099-0.15953400)×0.000247288888376884×R²
    0.000766989999999995×0.000247288888376884×6371000²
    0.000766989999999995×0.000247288888376884×40589641000000     		ar = 21063992.1682125m²