Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4303 / 2779
↖ ↑ ↗
← N 49.979488°
E  9.096680°		 ← 3 142.32 m → N 49.979488°
E  9.140625°		 →
↑
3 143.26 m
↓
↑
3 143.26 m
↓
N 49.951220°
E  9.096680°		 ← 3 144.16 m →
9 880 022 m²		 N 49.951220°
E  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52532958984375 y=0.33929443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52532958984375 × 213)
    floor (0.52532958984375 × 8192)
    floor (4303.5)     		tx = 4303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33929443359375 × 213)
    floor (0.33929443359375 × 8192)
    floor (2779.5)     		ty = 2779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4303 / 2779 ti = "13/4303/2779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4303/2779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4303 ÷ 213
    4303 ÷ 8192     		x = 0.5252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2779 ÷ 213
    2779 ÷ 8192     		y = 0.3392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5252685546875 × 2 - 1) × π
    0.050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15876701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3392333984375 × 2 - 1) × π
    0.321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01012634879382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15876701} λ = 0.15876701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01012634879382))-π/2
    2×atan(2.74594794030982)-π/2
    2×1.22155147333375-π/2
    2.4431029466675-1.57079632675     		φ = 0.87230662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15876701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.096680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87230662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.979488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4303 KachelY 2779 0.15876701 0.87230662 9.096680 49.979488
    Oben rechts KachelX + 1 4304 KachelY 2779 0.15953400 0.87230662 9.140625 49.979488
    Unten links KachelX 4303 KachelY + 1 2780 0.15876701 0.87181325 9.096680 49.951220
    Unten rechts KachelX + 1 4304 KachelY + 1 2780 0.15953400 0.87181325 9.140625 49.951220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87230662-0.87181325) × R
    0.000493370000000048 × 6371000     		dl = 3143.26027000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87230662-0.87181325) × R
    0.000493370000000048 × 6371000     		dr = 3143.26027000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15876701-0.15953400) × cos(0.87230662) × R
    0.000766990000000023 × 0.643061816992917 × 6371000     		do = 3142.31725379119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15876701-0.15953400) × cos(0.87181325) × R
    0.000766990000000023 × 0.643439568499962 × 6371000     		du = 3144.16313399565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87230662)-sin(0.87181325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643061816992917-0.643439568499962)×R²
    abs(0.15953400-0.15876701)×0.000377751507044666×R²
    0.000766990000000023×0.000377751507044666×6371000²
    0.000766990000000023×0.000377751507044666×40589641000000     		ar = 9880022.22094488m²