Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4302 / 4523
↖ ↑ ↗
← S 18.437925°
E  9.052734°		 ← 4 635.65 m → S 18.437925°
E  9.096680°		 →
↑
4 635.09 m
↓
↑
4 635.09 m
↓
S 18.479609°
E  9.052734°		 ← 4 634.53 m →
21 484 084 m²		 S 18.479609°
E  9.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52520751953125 y=0.55218505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52520751953125 × 213)
    floor (0.52520751953125 × 8192)
    floor (4302.5)     		tx = 4302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55218505859375 × 213)
    floor (0.55218505859375 × 8192)
    floor (4523.5)     		ty = 4523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4302 / 4523 ti = "13/4302/4523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4302/4523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4302 ÷ 213
    4302 ÷ 8192     		x = 0.525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4523 ÷ 213
    4523 ÷ 8192     		y = 0.5521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525146484375 × 2 - 1) × π
    0.05029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15800002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.104248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.327504898204224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15800002} λ = 0.15800002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327504898204224))-π/2
    2×atan(0.720719761034317)-π/2
    2×0.624496917183007-π/2
    1.24899383436601-1.57079632675     		φ = -0.32180249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15800002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32180249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.437925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4302 KachelY 4523 0.15800002 -0.32180249 9.052734 -18.437925
    Oben rechts KachelX + 1 4303 KachelY 4523 0.15876701 -0.32180249 9.096680 -18.437925
    Unten links KachelX 4302 KachelY + 1 4524 0.15800002 -0.32253002 9.052734 -18.479609
    Unten rechts KachelX + 1 4303 KachelY + 1 4524 0.15876701 -0.32253002 9.096680 -18.479609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32180249--0.32253002) × R
    0.000727529999999976 × 6371000     		dl = 4635.09362999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32180249--0.32253002) × R
    0.000727529999999976 × 6371000     		dr = 4635.09362999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15800002-0.15876701) × cos(-0.32180249) × R
    0.000766989999999995 × 0.94866687329125 × 6371000     		do = 4635.65431078294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15800002-0.15876701) × cos(-0.32253002) × R
    0.000766989999999995 × 0.948436521214896 × 6371000     		du = 4634.5286969075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32180249)-sin(-0.32253002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94866687329125-0.948436521214896)×R²
    abs(0.15876701-0.15800002)×0.000230352076354023×R²
    0.000766989999999995×0.000230352076354023×6371000²
    0.000766989999999995×0.000230352076354023×40589641000000     		ar = 21484084.0515671m²