Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4302 / 4057
↖ ↑ ↗
← N  1.713612°
E  9.052734°		 ← 4 884.31 m → N  1.713612°
E  9.096680°		 →
↑
4 884.39 m
↓
↑
4 884.39 m
↓
N  1.669686°
E  9.052734°		 ← 4 884.42 m →
23 857 140 m²		 N  1.669686°
E  9.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52520751953125 y=0.49530029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52520751953125 × 213)
    floor (0.52520751953125 × 8192)
    floor (4302.5)     		tx = 4302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49530029296875 × 213)
    floor (0.49530029296875 × 8192)
    floor (4057.5)     		ty = 4057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4302 / 4057 ti = "13/4302/4057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4302/4057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4302 ÷ 213
    4302 ÷ 8192     		x = 0.525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4057 ÷ 213
    4057 ÷ 8192     		y = 0.4952392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525146484375 × 2 - 1) × π
    0.05029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15800002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4952392578125 × 2 - 1) × π
    0.009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.029912625362915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15800002} λ = 0.15800002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.029912625362915))-π/2
    2×atan(1.03036450229588)-π/2
    2×0.800352246179788-π/2
    1.60070449235958-1.57079632675     		φ = 0.02990817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15800002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02990817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.713612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4302 KachelY 4057 0.15800002 0.02990817 9.052734 1.713612
    Oben rechts KachelX + 1 4303 KachelY 4057 0.15876701 0.02990817 9.096680 1.713612
    Unten links KachelX 4302 KachelY + 1 4058 0.15800002 0.02914151 9.052734 1.669686
    Unten rechts KachelX + 1 4303 KachelY + 1 4058 0.15876701 0.02914151 9.096680 1.669686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02990817-0.02914151) × R
    0.000766660000000002 × 6371000     		dl = 4884.39086000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02990817-0.02914151) × R
    0.000766660000000002 × 6371000     		dr = 4884.39086000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15800002-0.15876701) × cos(0.02990817) × R
    0.000766989999999995 × 0.99955278402129 × 6371000     		do = 4884.30797212082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15800002-0.15876701) × cos(0.02914151) × R
    0.000766989999999995 × 0.99957541624609 × 6371000     		du = 4884.41856433544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02990817)-sin(0.02914151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99955278402129-0.99957541624609)×R²
    abs(0.15876701-0.15800002)×2.26322247995903e-05×R²
    0.000766989999999995×2.26322247995903e-05×6371000²
    0.000766989999999995×2.26322247995903e-05×40589641000000     		ar = 23857140.4727911m²