Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4301 / 6047
↖ ↑ ↗
← S 64.755390°
E  9.008789°		 ← 2 084.01 m → S 64.755390°
E  9.052734°		 →
↑
2 083.32 m
↓
↑
2 083.32 m
↓
S 64.774125°
E  9.008789°		 ← 2 082.56 m →
4 340 147 m²		 S 64.774125°
E  9.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52508544921875 y=0.73822021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52508544921875 × 213)
    floor (0.52508544921875 × 8192)
    floor (4301.5)     		tx = 4301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73822021484375 × 213)
    floor (0.73822021484375 × 8192)
    floor (6047.5)     		ty = 6047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4301 / 6047 ti = "13/4301/6047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4301/6047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4301 ÷ 213
    4301 ÷ 8192     		x = 0.5250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6047 ÷ 213
    6047 ÷ 8192     		y = 0.7381591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5250244140625 × 2 - 1) × π
    0.050048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15723303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.476318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49639825853967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15723303} λ = 0.15723303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49639825853967))-π/2
    2×atan(0.223935266319067)-π/2
    2×0.220300782713089-π/2
    0.440601565426178-1.57079632675     		φ = -1.13019476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15723303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13019476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.755390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4301 KachelY 6047 0.15723303 -1.13019476 9.008789 -64.755390
    Oben rechts KachelX + 1 4302 KachelY 6047 0.15800002 -1.13019476 9.052734 -64.755390
    Unten links KachelX 4301 KachelY + 1 6048 0.15723303 -1.13052176 9.008789 -64.774125
    Unten rechts KachelX + 1 4302 KachelY + 1 6048 0.15800002 -1.13052176 9.052734 -64.774125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13019476--1.13052176) × R
    0.000326999999999966 × 6371000     		dl = 2083.31699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13019476--1.13052176) × R
    0.000326999999999966 × 6371000     		dr = 2083.31699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15723303-0.15800002) × cos(-1.13019476) × R
    0.000766989999999995 × 0.426483656521353 × 6371000     		do = 2084.00952588624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15723303-0.15800002) × cos(-1.13052176) × R
    0.000766989999999995 × 0.426187863772093 × 6371000     		du = 2082.56413660175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13019476)-sin(-1.13052176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426483656521353-0.426187863772093)×R²
    abs(0.15800002-0.15723303)×0.000295792749260226×R²
    0.000766989999999995×0.000295792749260226×6371000²
    0.000766989999999995×0.000295792749260226×40589641000000     		ar = 4340146.91008101m²